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康托爾就對數(shù)學(xué)的特殊敏感
1845年3月3日，喬治·康托生于俄國的一個丹麥—猶太血統(tǒng)的家庭。1856年康托和他的父母一起遷到德國的法蘭克福。像許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家一樣，他在中學(xué)階段就表現(xiàn)出一種對數(shù)學(xué)的特殊敏感，并不時得出令人驚奇的結(jié)論。他的父親力促他學(xué)工，因而康托在1863年帶著這個目地進入了柏林大學(xué)。這時柏林大學(xué)正在形成一個數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的中心。康托很早就向往這所由外爾斯托拉斯占據(jù)著的世界數(shù)學(xué)中心之一。所以在柏林大學(xué)，康托受了外爾斯特拉斯的影響而轉(zhuǎn)到純粹的數(shù)學(xué)。他在1869年取得在哈勒大學(xué)任教的資格，不久后就升為副教授，并在1879年被升為正教授。
1874年康托在克列勒的《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了關(guān)于無窮集合理論的第一篇革命性文章。數(shù)學(xué)史上一般認為這篇文章的發(fā)表標志著集合論的誕生。這篇文章的創(chuàng)造性引起人們的注意。在以后的研究中，集合論和超限數(shù)成為康托研究的主流，他一直在這方面發(fā)表論文直到1897年，過度的思維勞累以及強列的外界刺激曾使康托患了精神分裂癥。這一難以消除的病根在他后來30多年間一直斷斷續(xù)續(xù)影響著他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大學(xué)的精神病院中去世。
集合論的背景
為了比較清楚地了解康托在集合論上的工作，先介紹一下集合論產(chǎn)生的背景。
集合論在19世紀誕生的基本原因，來自數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的批判運動。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念。在18世紀，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴重的邏輯困難，而且還使實無窮概念在數(shù)學(xué)中信譽掃地。19世紀上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎(chǔ)上建立起連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分以及無窮級數(shù)的理論。正是這19世紀發(fā)展起來的極限理論相當完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴密化�？挛魉枷胗幸欢ǖ哪：�，甚至產(chǎn)生邏輯矛盾。
19世紀后期的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)使柯西產(chǎn)生邏輯矛盾的問題的原因在奠定微積分基礎(chǔ)的極限概念上。嚴格地說柯西的極限概念并沒有真正地擺脫幾何直觀，確實地建立在純粹嚴密的算術(shù)的基礎(chǔ)上。于是
，許多受分析基礎(chǔ)危機影響的數(shù)學(xué)家致力與分析的嚴格化。在這一過程中，都涉及到對微積分的基本研究對象─連續(xù)函數(shù)的描述。在數(shù)與連續(xù)性的定義中，有涉及關(guān)于無限的理論。因此，無限集合在數(shù)學(xué)上的存在問題又被提出來了。這自然也就導(dǎo)致尋求無限集合的理論基礎(chǔ)的工作�？傊�，為尋求微積分徹底嚴密的算術(shù)化傾向，成了集合論產(chǎn)生的一個重要原因。 集合論的建立
康托在柏林大學(xué)的導(dǎo)師是外爾斯托拉斯，庫曼和克羅內(nèi)克。庫曼教授是數(shù)論專家，他以引進理想數(shù)并大大推動費馬大定理的研究而舉世聞名是。克羅內(nèi)克是一位大數(shù)學(xué)家，當時許多人都以得到他的贊許為榮。外爾斯托拉斯是一位優(yōu)秀教師也是一位大數(shù)學(xué)家。他的演講給數(shù)學(xué)分析奠定了一個精確而穩(wěn)定的基礎(chǔ)。例如，微積分中著名的觀念就是他首先引進的。正是由于這些人的影響，康托對數(shù)論較早產(chǎn)生興趣，并集中精力對高斯所留下的問題作了深入的研究。他的畢業(yè)論文就是關(guān)于++=0的素數(shù)問題的。這是高斯在《算術(shù)研究》中提出而未解決的問題。這片論文寫得相當出色，它足以證明作者具有深刻的洞察力和對優(yōu)秀思想的繼承能力。
然而，他的超窮集合論的創(chuàng)立，并沒有受惠于早期對數(shù)論的研究。相反，他很快接受了數(shù)學(xué)家海涅的建議轉(zhuǎn)向了其他領(lǐng)域。海涅鼓勵康托研究一個十分有趣，也是較困難的問題：任意函數(shù)的三角級數(shù)的表達式是否唯一？對康托來說這個問題是促使他建立集合論的最直接原因。函數(shù)可用三角級數(shù)表示，最早是1822年傅立葉提出來的。此后對于間斷點的研究，越來越成為分析領(lǐng)域中引人注目的問題，從19世紀30年代起，不少杰出的數(shù)學(xué)家從事著對不連續(xù)函數(shù)的研究，并且都在一定程度上與集合這一概念掛起了鉤。這就為康托最終建立集合論創(chuàng)造了條件。
1870年，海涅證明，如果表示一個函數(shù)的三角級數(shù)在區(qū)間[-π,π]中去掉函數(shù)間斷點的任意小鄰域后剩下的部分上是一致收斂的，那么級數(shù)是唯一的。至于間斷點的函數(shù)情況如何，海涅沒有解決�？低虚_始著手解決這個以如此簡潔的方式表達的唯一性問題。他跨出了集合論的第一步。
康托一下子就表現(xiàn)出比海涅更強的研究能力。他決定盡可能多地取消限制，當然這會使問題本身增加難度。為了給出最有普遍性的解，康托引進了一些新的概念。在其后的三年中，康托先后發(fā)表了五篇有關(guān)這一題目的文章。1872年當康托將海涅提出的一致收斂的條件減弱為函數(shù)具有無窮個間斷點的情況時，他已經(jīng)將唯一性結(jié)果推廣到允許例外值是無窮集的情況�？低�1872年的論文是從間斷點問題過度到點集論的極為重要的環(huán)節(jié)，使無窮點集成為明確的研究對象。
集合論里的中心，難點是無窮集合這個概念本身。從希臘時代以來，無窮集合很自然地引起數(shù)學(xué)家們和哲學(xué)家們的注意。而這種集合的本質(zhì)以及看來是矛盾的性質(zhì)，很難象有窮集合那樣來把握它。所以對這種集合的理解沒有任何進展。早在中世紀，人們已經(jīng)注意到這樣的事實：如果從兩個同心圓出發(fā)畫射線，那么射線就在這兩個圓的點與點之間建立了一一對應(yīng)，然而兩圓的周長是不一樣的。
在康托之前的數(shù)學(xué)家大多不贊成在無窮集之間使用一一對應(yīng)的比較手段，因為它將出現(xiàn)部分等于全體的矛盾.高斯明確表態(tài)：“我反對把一個無窮量當作實體，這在數(shù)學(xué)中是從來不允許的。無窮只是一種說話的方式… …”柯西也不承認無窮集合的存在。他不能允許部分同整體構(gòu)成一一對應(yīng)這件事。當然，潛無窮在一定條件下是便于使用的，但若把它作為無窮觀則是片面的。數(shù)學(xué)的發(fā)展表明，只承認潛無窮，否認實無窮是不行的�？低邪褧r間用到對研究對象的深沉思考中。他要用事實來說明問題，說服大家�？低姓J為，一個無窮集合能夠和它的部分構(gòu)成一一對應(yīng)不是什么壞事，它恰恰反應(yīng)了無窮集合的一個本質(zhì)特征。對康托來說，如果一個集合能夠和它的一部分構(gòu)成一一對應(yīng)，它就是無窮的。它定義了基數(shù),可數(shù)集合等概念。并且證明了實數(shù)集是不可數(shù)的代數(shù)數(shù)是可數(shù)的.康托最初的證明發(fā)表在1874年的一篇題為《關(guān)于全體實代數(shù)數(shù)的特征》的文章中,它標志著集合論的誕生。 隨著實數(shù)不可數(shù)性質(zhì)的確立，康托又提出一個新的，更大膽的問題。1874年，他考慮了能否建立平面上的點和直線上的點之間的一一對應(yīng)。從直觀上說，平面上的點顯然要比線上的點要多得多�？低凶约浩鸪跻彩沁@樣認識的。但三年后，康托宣布：不僅平面和直線之間可以建立一一對應(yīng)，而且一般的n維連續(xù)空間也可以建立一一對應(yīng)！這一結(jié)果是出人意外的。就連康托本人也覺得“簡直不能相信”。然而這又是明擺著的事實，它說明直觀是靠不住的，只有靠理性才能發(fā)現(xiàn)真理，避免謬誤。
既然n維連續(xù)空間與一維連續(xù)統(tǒng)具有相同的基數(shù)，于是，康托在1879到1884年間集中于線性連續(xù)統(tǒng)的研究，相繼發(fā)表了六篇系列文章，匯集成《關(guān)于無窮的線性點集》。前四篇直接建立了集合論的一些重要結(jié)果，包括集合論在函數(shù)論等方面的應(yīng)用。其中第五篇發(fā)表于1883年，它的篇幅最長，內(nèi)容也最豐富。它不僅超出了線性點集的研究范圍，而且給出了超窮數(shù)的一個完全一般的理論，其中借助良序集的序型引進了超窮序數(shù)的整個譜系。同時還專門討論了由集合論產(chǎn)生的哲學(xué)問題，包括回答反對者們對康托所采取的實無窮立場的非難。這篇文章對康托是極為重要的。1883年，康托將它以《集合論基礎(chǔ)》為題作為專著單獨出版。
《集合論基礎(chǔ)》的出版，是康托數(shù)學(xué)研究的里程碑。其主要成果是引進了作為自然數(shù)系的獨立和系統(tǒng)擴充的超窮數(shù)�？低星逍训卣J識到，他這樣做是一種大膽的冒進�！拔液芰私膺@樣做將使我自己處于某種與數(shù)學(xué)中關(guān)于無窮和自然數(shù)性質(zhì)的傳統(tǒng)觀念相對立的地位，但我深信，超窮數(shù)終將被承認是對數(shù)概念最簡單、最適當和最自然的擴充�！薄都险摶A(chǔ)》是康托關(guān)于早期集合理論的系統(tǒng)闡述，也是他將做出具有深遠影響的特殊貢獻的開端。
康托于1895年和1897年先后發(fā)表了兩篇對超限數(shù)理論具有決定意義的論文。在該文中,他改變了早期用公理定義(序)數(shù)的方法，采用集合作為基本概念。他給出了超限基數(shù)和超限序數(shù)的定義，引進了它們的符號；依勢的大小把它們排成一個“序列”；規(guī)定了它們的加法，乘法和乘方… …。
到此為止，康托所能做的關(guān)于超限基數(shù)和超限序數(shù)理論已臻于完成。但是集合論的內(nèi)在矛盾開始暴露出來。康托自己首先發(fā)現(xiàn)了集合論的內(nèi)在矛盾。他在1895年的文章中遺留下兩個懸而未決的問題：一個是連續(xù)統(tǒng)假說；另一個是所有超窮基數(shù)的可比較性。他雖然認為無窮基數(shù)有最小數(shù)而沒有最大數(shù)，但沒有明顯敘述其矛盾之處。一直到1903年羅素發(fā)表了他的著名悖論。集合論的內(nèi)在矛盾才突出出來，成為20世紀集合論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的出發(fā)點。
對康托集合論的不同評價
康托的集合論是數(shù)學(xué)上最具有革命性的理論。他處理了數(shù)學(xué)上最棘手的對象---無窮集合。因此，他的發(fā)展道路也自然很不平坦。他拋棄了一切經(jīng)驗和直觀，用徹底的理論來論證，因此他所得出的結(jié)論既高度地令人吃驚，難以置信，又確確實實，毋庸置疑。數(shù)學(xué)史上沒有比康托更大膽的設(shè)想和采取的步驟了。因此，它不可避免地遭到了傳統(tǒng)思想的反對。
一位德國的知覺主義者魏爾認為，康托把無窮分成等級是霧上之霧。法國數(shù)學(xué)界的權(quán)威人物龐加萊曾預(yù)言：我們的“后一代將把（康托的）集合論當作一種疾病”等等。由于兩千年來無窮概念數(shù)學(xué)帶來的困難，也由于反對派的權(quán)威地位,康托的成就不僅沒有得到應(yīng)有的評價，反而受到排斥。1891年，克羅內(nèi)克去世之后，康托的處境開始好轉(zhuǎn)。
另一方面，許多大數(shù)學(xué)家支持康托的集合論。除了狄德金以外，瑞典的數(shù)學(xué)家米大格---列夫勒在自己創(chuàng)辦的國際性數(shù)學(xué)雜志上把康托的集合論的論文用法文轉(zhuǎn)載，從而大大促進了集合論在國際上的傳播。1897年在第一次國際數(shù)學(xué)家大會上，霍爾維次在對解析函數(shù)的最新進展進行概括時，就對康托的集合論的貢獻進行了闡述。
三年后的第二次國際數(shù)學(xué)大會上，為了捍衛(wèi)集合論而勇敢戰(zhàn)斗的希爾伯特又進一步強調(diào)了康托工作的重要性。他把連續(xù)統(tǒng)假設(shè)列為20世紀初有待解決的23個主要數(shù)學(xué)問題之首。希爾伯特宣稱“沒有人能把我們從康托為我們創(chuàng)造的樂園中驅(qū)逐出去”。特別自1901年勒貝格積分產(chǎn)生以及勒貝格的測度理論充實了集合論之后，集合論得到了公認，康托的工作獲得崇高的評價。當?shù)谌螄H數(shù)學(xué)大會于1904年召開時，“現(xiàn)代數(shù)學(xué)不能沒有集合論”已成為大家的看法�？低械穆曂呀�(jīng)得到舉世公認。
集合論最激烈的反對者是克羅內(nèi)克，他認為只有他研究的數(shù)論及代數(shù)才最可靠。因為自然數(shù)是上帝創(chuàng)造的，其余的是人的工作。他對康托的研究對象和論證手段都表示強烈的反對。由于柏林是當時的數(shù)學(xué)中心，克羅內(nèi)克又是柏林學(xué)派的領(lǐng)袖人物，所以他對康托及其集合論的發(fā)展前途的阻礙作用是非常大的。
5.集合論的意義
集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)理論。它的概念和方法已經(jīng)滲透到代數(shù)、拓撲和分析等許多數(shù)學(xué)分支以及物理學(xué)和質(zhì)點力學(xué)等一些自然科學(xué)部門，為這些學(xué)科提供了奠基的方法，改變了這些學(xué)科的面貌。幾乎可以說，如果沒有集合論的觀點，很難對現(xiàn)代數(shù)學(xué)獲得一個深刻的理解。所以集合論的創(chuàng)立不僅對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究有重要意義，而且對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展也有深遠的影響。
今天集合論已成為整個數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，康托也因此成為世紀之交的最偉大的數(shù)學(xué)家之一。
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