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華羅庚是國際上享有盛譽的數(shù)學(xué)家，他的研究領(lǐng)域涉及多元復(fù)變數(shù)函數(shù)、數(shù)論、代數(shù)及應(yīng)用數(shù)學(xué)等，在每一個領(lǐng)域都取得了杰出的成果，有許多以他的名字命名的定理、引理、不等式、算子與方法，并培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的學(xué)生。1956年獲得國家自然科學(xué)獎一等獎，1990年與王元共獲陳嘉庚物質(zhì)科學(xué)獎。他被選為美國科學(xué)院國外院士、第三世界科學(xué)院院士、聯(lián)邦德國巴伐利亞科學(xué)院院士，被法國南錫大學(xué)、香港中文大學(xué)與美國伊利諾伊大學(xué)授予榮譽博士學(xué)位。2002年美國科學(xué)院出版了華羅庚傳。
已故數(shù)學(xué)大師華羅庚院士是中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的創(chuàng)始人。他關(guān)于典型域上多元復(fù)變數(shù)函數(shù)論的研究，于1956年獲得第一屆國家自然科學(xué)獎一等獎。 華羅庚1958年在科學(xué)出版社出版了《多復(fù)變函數(shù)論中典型域上的調(diào)和分析》一書。此書的初稿完成于1954年，是申請一等獎的依據(jù)。此書一出版就引起了國際上的高度重視。首先是蘇聯(lián)科學(xué)院Steklov數(shù)學(xué)研究所于同年來函要求將此書翻譯成俄文出版（但由于蘇聯(lián)人同時精通中文及數(shù)學(xué)的不多，請華羅庚先譯成英文，再由他們譯成俄文出版）。英文版是1963年從俄文版再翻譯成英文，由美國數(shù)學(xué)會出版的。英文版出版后，此書受到國際數(shù)學(xué)界的普遍關(guān)注和高度評價，成為該領(lǐng)域研究的必然要引用的書籍。丘成桐教授（菲爾茲獎、瑞典科學(xué)院卡拉夫獎、美國國家科學(xué)獎獲得者）說，華羅庚這方面的研究成果領(lǐng)先世界十年。
華羅庚對多元復(fù)變函數(shù)的研究始于40年代抗戰(zhàn)時期。當(dāng)時的昆明西南聯(lián)合大學(xué)，條件非常艱苦，華羅庚住在人畜共舍的牛棚樓上。白天日寇飛機經(jīng)常來轟炸，空襲時華羅庚仍在防空洞里看資料。他想把單復(fù)變數(shù)的自守函數(shù)理論推廣到多元復(fù)變函數(shù)。有一次日機的炸彈將防空洞炸塌，把他和正在看的書埋在土中，聽說是段學(xué)復(fù)（現(xiàn)北京大學(xué)教授、中國科學(xué)院院士）把他和書從泥土中挖出來的。這本書是德文的單復(fù)變數(shù)自守函數(shù)的書。華羅庚這種臨危不懼、專心研究的精神，實為后世科學(xué)研究者的楷模。
與此同時，在大洋彼岸的普林斯頓，有一位因不滿法西斯排猶而離開德國的大數(shù)學(xué)家及天體力學(xué)家西格爾，也想把單復(fù)變數(shù)的自守函數(shù)理論推廣到多復(fù)變數(shù)。由于單復(fù)變數(shù)的自守函數(shù)的主要理論是在單位圓內(nèi)討論，他們不約而同地考慮與單位圓最相近的有界對稱域上的自守函數(shù)理論。在有界對稱域上，多復(fù)變數(shù)可用矩陣來表示，便于構(gòu)造自守函數(shù)的級數(shù)表達及其基本域。此外，單復(fù)變數(shù)的自守函數(shù)論與單位圓的非歐幾何密切相關(guān)，所以他們也就不約而同地從研究典型域的幾何開始。西格爾這方面的第一篇文章“辛幾何”1943年發(fā)表在《美國數(shù)學(xué)年刊》，華羅庚的文章“矩陣變數(shù)的自守函數(shù)論”1944年發(fā)表在同一期刊。實際上，兩人差不多是同時投稿，但華羅庚的稿件在二戰(zhàn)時期從昆明寄到美國要歷經(jīng)幾個月。西格爾后來把注意力轉(zhuǎn)向天體力學(xué)，不過他研究天體力學(xué)的方法是源出于他“辛幾何”的文章。辛幾何是現(xiàn)在國際上最熱門的幾何研究方向之一。
1997年獲國家自然科學(xué)一等獎的已故院士馮康，曾對筆者說，他關(guān)于辛算法的工作與西格爾的天體力學(xué)及華羅庚發(fā)表在《美國數(shù)學(xué)會集刊》上的文章“在辛群下超圓的分類”有密切關(guān)系。戰(zhàn)后西格爾回德，受到德國科學(xué)界的高度尊敬。他在60年代寫過三卷“函數(shù)論”講義，其中引用華羅庚及其學(xué)生的文章有十幾篇之多。
華羅庚戰(zhàn)后去美國，繼續(xù)研究多復(fù)變函數(shù)。他1946年在美國《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表的文章“多復(fù)變函數(shù)的自守函數(shù)”成為經(jīng)典著作，為研究自守函數(shù)的名家所必引用。多復(fù)變數(shù)自守函數(shù)理論現(xiàn)已發(fā)展成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的研究方向之一。解決費馬大定理的威爾士，曾在Langland的討論班中獲益匪淺。而Langland就是目前多復(fù)變數(shù)自守函數(shù)的權(quán)威人士，他在普林斯頓高等研究所主持的討論班，一直是圍繞著多變數(shù)的自守形式（自守函數(shù)的推廣）進行。此外，華羅庚在上述文章中引進了一個微分度量，現(xiàn)在被稱為華羅庚度量。
華羅庚于1950年毅然回國，當(dāng)時才40歲，正值盛年。新中國成立后的最初十年，是他精力最充沛的十年，主要從事的研究仍然是多復(fù)變函數(shù)。他的主要工作之一就是多復(fù)變數(shù)典型域上的調(diào)和分析。
富氏分析是最早的調(diào)和分析，問世以來在工程與物理領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，數(shù)學(xué)家也進行了深入的研究。人們自然會考慮把富氏分析推廣到多個變數(shù)，或者把微分方程推廣為算子的情形。在實際應(yīng)用上也有此需要，例如量子力學(xué)要考慮算子特征值與特征向量。
在華羅庚之前，富氏分析的推廣多是平行推廣，如考慮多個單位圓周的拓撲積情形，或抽象地證明某些空間的完備正交歸一系的存在。這對實際的應(yīng)用是遠遠不夠的。如上所述，華羅庚早就認識到單變數(shù)的自守函數(shù)的推廣是典型域上的自守函數(shù)。同樣，他認為單位圓上的調(diào)和分析的推廣是典型域上的調(diào)和分析。他用群表示理論具體構(gòu)造了典型域上的絕對值平方可積全純函數(shù)的一組完備正交歸一函數(shù)系。群表示論與正交系的關(guān)系并非華羅庚首先發(fā)現(xiàn)，但能夠具體地找出非顯然的例子的所有不可約表示并計算其正交化所需的各種常數(shù)，應(yīng)是始于華羅庚在50年代初期的工作。這使得調(diào)和分析在60年代熱門起來。
調(diào)和分析領(lǐng)域的權(quán)威、普林斯頓大學(xué)教授斯坦，在一次學(xué)術(shù)會議上，當(dāng)著華羅庚和他的學(xué)生的面說，“我是華的名譽學(xué)生”。他是使華羅庚成為美國科學(xué)院外籍院士的推薦人之一。
華羅庚在把一個表示化為適合所需條件的不可約表示時，使用了兩個奇妙的代數(shù)恒等式。他是怎樣想出這兩個恒等式的，筆者只能驚嘆他是天才。但華羅庚從不認為自己是天才，這只好歸于他有敏銳的數(shù)學(xué)直覺。此外，正交歸一化所需的常數(shù)要用到很多矩陣積分的計算，他以驚人的技巧把許多復(fù)雜的矩陣積分計算出來。這些技巧后來被理論物理學(xué)家廣為應(yīng)用。
在談到矩陣積分時，不能不說到他引進的矩陣極坐標(biāo)。最初他是為了計算矩陣積分而引進的，但后來發(fā)現(xiàn)體積元素的矩陣極坐標(biāo)的表達式與李代數(shù)根系的計算有密切關(guān)系，使后人對一些根系的計算變得大為容易。矩陣極坐標(biāo)對于對稱空間的幾何研究也十分有用。
華羅庚用典型域的矩陣方法考慮數(shù)學(xué)物理問題是鮮為人知的，但筆者有幸知道，他60年代初期在中山大學(xué)講學(xué)的一份講義就是用矩陣的方法來處理狹義相對論的。狹義相對論的未來光錐就是第四類典型域的特征流形。從華羅庚獲獎的書中知道，當(dāng)n = 4時Bergman核函數(shù)可以寫成1 / deg Z的若干次方的形式，是一個次調(diào)和函數(shù)。他的學(xué)生的學(xué)生周向宇解決“擴充未來光錐管域猜想”的證明中，重要的一步就是要構(gòu)造一個在擴充未來光錐管域的次調(diào)和函數(shù)，上述函數(shù)就是。這一著如果不是華派的弟子是難以想到的。由于解決這一猜想，俄國科學(xué)院Steklov數(shù)學(xué)研究所授予周向宇俄國國家科學(xué)博士學(xué)位，這是有史以來中國人從俄國獲得的第三個科學(xué)博士。 在上面提到的講義中，華羅庚還曾用矩陣的方法處理Dirac算子，準(zhǔn)備對Dirac算子的熱核進行研究。我們知道，從70年代到今天，從指標(biāo)定理到Seiberg—Witten方程，都與Dirac算子的研究有關(guān)，對數(shù)學(xué)與理論物理產(chǎn)生了巨大的影響。華羅庚的思想是超前的。 撰稿人：中國科學(xué)院院士，數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員 陸啟鏗
華羅庚考慮典型域上方程△u = -λu的調(diào)和分析，其中△是Laplace—Beltrami算子。這首先要弄清楚λ= 0的情形，此時u稱為調(diào)和函數(shù)。與通常的情況大不一樣，典型域上的△是一個變系數(shù)的微分算子（后被稱為華算子）。除了球體的情形外，給定典型域邊界的一部分便有唯一的解，但任意給予整個邊界值，解不一定存在。這是橢圓微分方程理論的一個重大發(fā)現(xiàn)。對于球體的情形，華羅庚也有重要的發(fā)現(xiàn)，就是△u = 0在球內(nèi)是橢圓型，在球外是雙曲型，在球面上是拋物型。這對混合型微分方程的研究，起了很大的推進作用。華羅庚的調(diào)和函數(shù)論不僅適用于典型域，而且適用于非緊的黎曼對稱空間。這個理論是系統(tǒng)的、完整的，其成果總結(jié)在1959年《中國科學(xué)》國慶十周年特刊“典型域的調(diào)和函數(shù)論”（與陸啟鏗合作）長篇文章中，但基本的思想在他獲獎的書中已經(jīng)提出來了。此后，國內(nèi)外不少人繼續(xù)做推廣工作。華羅庚研究多元復(fù)變函數(shù)的方法，有濃厚的中國特色，在國外他和他的學(xué)生被稱為華羅庚學(xué)派。 對于緊致的流形，△u = 0只有常數(shù)解。研究△u = -λu的解，首先要知道特征值λ可能是什么。這也是調(diào)和分析的問題，是60年代以后國際上最熱門的問題之一。他的學(xué)生和學(xué)生的學(xué)生在這方面做過很好的工作。無怪乎丘成桐教授說，華羅庚的工作領(lǐng)先世界十年。 |
