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受到這些小孩的威嚇，加上老師處理不善，不到一年，我便身患重病。在家中養(yǎng)病的半年，我思索如何跟同學(xué)老師相處。升上小六時，我已經(jīng)是一群小孩的首領(lǐng)，帶著他們在街頭亂闖。
家父是位教授。他教了我不少中國文學(xué)。可是，他并不知道我曾曠課好一段日子。（或者這是因為我在家中循規(guī)蹈矩，他教授的詩詞我也能背誦如流。）逃學(xué)的原因是老師不怎樣教學(xué)，在學(xué)校悶得發(fā)慌，不久連上街也覺得無聊了。當(dāng)時香港有統(tǒng)一的升中試。我考得并不好，但幸好分?jǐn)?shù)落在分界線上。
政府允許這些落在分界線上的學(xué)生申請私立中學(xué)，并提供學(xué)費。我進(jìn)入了培正中學(xué)。培正是一所很好的中學(xué)。中學(xué)生涯的第一年乏善可陳。我的成績不大好，老師常常對我很生氣。大概剛從鄉(xiāng)村出來，“野性”未改吧。我熱中于養(yǎng)蠶、養(yǎng)小魚，到山上去捉各種小動物。沙田的風(fēng)景美麗清新，在大自然的懷抱里，倒是自得其趣，到如今還不能忘懷。
當(dāng)時武俠小說盛行，我很喜歡讀這些小說，沒有錢去買，就向鄰居借。父親不贊成我讀這些小說，認(rèn)為膚淺，但我還是偷偷去看，也看了各種不同的章回小說如七俠五義、說岳全傳、東周列國志等雜書。父親從我小學(xué)五年級教我詩詞、古文和古典小說如三國演義、水滸傳、紅樓夢、西廂記等。父親堅持我在看這些小說時，要背誦其中的詩詞。當(dāng)時雖以為苦，但順口吟誦，也慢慢習(xí)慣�？傆X得沒有看武俠小說來得刺激。
但是真正對我有影響的卻不是武俠小說。中國古典文學(xué)深深影響了我做學(xué)問的氣質(zhì)和修養(yǎng)。近代的作品，如魯迅的也有閱讀。記憶深刻的︰“路是人行出來的，自己的路更要自己去走�！�
我們家中常有父親的學(xué)生來訪，往往興高采烈的談學(xué)問。他們討論時常常談及希臘哲學(xué)，雖然我對希臘哲學(xué)不大了解，但卻對它留下深刻的印象。希臘學(xué)者對真理和美無條件的追求是我一生做學(xué)問的座右銘。他們對康德的哲學(xué)、對自然
辯證法的討論使我莫名其妙，但是久而久之，竟然引起了我對自然科學(xué)的興奮。西方的作品如浮士德、戰(zhàn)爭與和平等文學(xué)著作，雖有接觸，但遠(yuǎn)不如中國文學(xué)對我的印象深厚。
我開始研讀史學(xué)名著史記和左傳。對史記尤其著迷。這不僅是由于其文字優(yōu)美、音調(diào)鏗鏘，還是因為它敘事求真，史觀獨特。直到現(xiàn)在，我還不時披閱這書。史學(xué)大師駐足高涯，俯視整個歷史，與大科學(xué)家的思入風(fēng)云，干宇宙之奧秘遙相呼應(yīng)。在當(dāng)時讀這些文章，大多部份不能夠領(lǐng)會，尤其困難的是讀馮友蘭寫的新原道和新原人，但是重復(fù)的去讀，總有點收獲。
好讀書，不求甚解，
每有會意，便欣然忘食。其實在做科學(xué)時，也往往有同樣的經(jīng)驗，讀書只要有興趣，不一定要全懂，慢慢自然領(lǐng)會其中心思想，同時一定要做到︰不戚戚于貧賤，不汲汲于富貴。這是古人的經(jīng)驗，陶淵明的古文和詩有他的獨特氣質(zhì)，深得自然之趣，我們做科學(xué)的學(xué)者也需要得到自然界的氣息，需要同樣的精神。
在以后的日子里，我都以此作為原則，以研讀學(xué)問為樂事，不以為苦。在父親的循循善導(dǎo)下，我開始建立我對人生的看法。
到如今，我讀史記至以下一段時，仍然使我心志清新︰
司馬遷：孔子世家贊
天下君王至于賢人，眾矣！
當(dāng)時則榮，沒則已焉，孔子布衣，
傳十余世，學(xué)者宗之。
假如我們追求的永恒的真理，即使一時的挫折，也不覺灰心。
韓愈
茍余行之不迷，雖顛沛其何傷。
我讀左傳，始知有不朽的事情。
左傳
叔孫豹論三不朽
太上有立德，其次有立功，其次有立言，
雖久不廢，此之謂不朽。
以前我以為立德跟立言沒有關(guān)系，但是數(shù)十年的觀察才知道立德的重要性。立德立功立言之道，必以謙讓質(zhì)樸為主。我有一個學(xué)生在南京大學(xué)電視臺訪問自炫
：“”會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小"，真輕妄浮夸之言。其實遠(yuǎn)山微小，越近越覺其宏大。往往眾人合作才能跨過困難的地方，在沒有嘗試創(chuàng)作性的學(xué)問時，才會說這種膚淺的說話。
在培正的第二年，我多言多動，老師要記我小過。她是我的班主任，責(zé)任心強，誠然是為我好。當(dāng)她知道家父是位教授，但卻拿著微薄的薪酬后，大為震動。此后在她悉心栽培下，我在課堂上規(guī)矩多了。
就在這年，我們開始學(xué)習(xí)平面幾何。同學(xué)對抽象思維都不習(xí)慣。由于在家中時常聽父親談?wù)撜軐W(xué)，對利用公理進(jìn)行推導(dǎo)的做法，我一點也不覺得見外。學(xué)習(xí)幾何后，我對父親的講話，又多明白了幾分。利用簡單的公理，卻能推出美妙的定理，實在令人神往。對幾何的狂熱，提高了對數(shù)學(xué)──包括代數(shù)──的鑒賞能力。當(dāng)你喜歡某科目時，所有有關(guān)的東西都變得淺易。
我對歷史也甚有興趣。它培養(yǎng)我對事物要作一整體觀。事件是如何發(fā)生的？到底是甚么原故？將來會如何？就在這時，父親完成了他的西方哲學(xué)史。他跟學(xué)生談話，總是說應(yīng)整體地看歷史。這種觀念深深地影響了我。這種想法，在往后的日子中，指引我去尋找研究項目。父親的書對我有很深的影響。
書中第一頁的引言︰
文心雕龍
諸子
身與時舛，志共道申。
標(biāo)心于萬古之上，而送懷與千載之下。
這是何等的胸襟。
哲學(xué)史的目的有三，
一曰求因，哲學(xué)思潮其源甚伙，必先上溯以求之。
二曰明變，往昔哲學(xué)思想交纏屈結(jié)，故重理其脈絡(luò)，是為要務(wù)。
三曰評論，所有思潮及其流派，皆一一評論，作警策精辟之言。
這三點和自然科學(xué)的研究有密切的關(guān)系，再加上創(chuàng)新，則可以概括研究的方法了。
十四歲時，父親便去世了。這或許是我一生中最大的打擊。在一段頗長的日子里，對父親離開了我和家人的事實，我都不能置信。家中經(jīng)濟(jì)，頓入困境，我們面臨輟學(xué)。幸得母親苦心操持，先父舊交弟子的援手，我們才幸免如此。
家中遽變，令我更成熟堅強。困境中人情冷暖，父親生前的教導(dǎo)，竟變得真實起來。以前誦讀的詩詞古文，有了進(jìn)一步的體會。我花了整整半年，研習(xí)古典文學(xué)和中國歷史，藉此撫平繃緊的心弦。典麗的詩詞教人欣賞自然之美。
我閱讀了大量數(shù)學(xué)書籍，并考慮書中的難題。當(dāng)這些難題都解決掉后，我開始創(chuàng)造自己認(rèn)為有挑戰(zhàn)性的題目。由個人去創(chuàng)造問題此后變成我研究事業(yè)中最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。學(xué)校的課本已經(jīng)不能滿足我了。我跑到圖書館、書店去看書。我花了許多時間打書釘，閱讀那些買不起的書本。我讀了華羅庚先生寫的很多參考書，無論在分析或數(shù)論上的討論，都漂亮極了。也看了很多幫助課堂解題，例如陳明哲寫的一些小冊子，一般來說，我會比課程早一個學(xué)期做完所有的習(xí)題，所以聽數(shù)學(xué)課是一程享受。
打從十五歲起，我開始替低年級學(xué)生當(dāng)家教，以幫補家計。我找到一些巧妙的方法，使成績低劣的孩子搖身變成優(yōu)等生，為此我覺得有點飄飄然。我積累了教導(dǎo)年青人的經(jīng)驗，同時也體會到教學(xué)相長的道理。
我們的數(shù)學(xué)老師十分好。他教授的內(nèi)容，比課程要求來得艱深，但我覺得絲毫不費氣力。其實我的同學(xué)們雖然叫苦，但是總的來說，數(shù)學(xué)都不錯，這叫做取法乎其上，得乎其中。
近代數(shù)學(xué)的教學(xué)方法，恐怕適得其反，取法乎其中，得乎其下。
當(dāng)時我們的物理老師不太行，對此不無失望。中學(xué)時養(yǎng)成不了物理上的基本直觀，至今于心還有戚戚焉。國文老師卻是無懈可擊。他是我的父執(zhí)輩。他教導(dǎo)我們思想要不落俗套。
國文教師說思惟要自出機杼，讀好書之余，爛書也無妨一讀，以資比較。因此我甚么書都啃。他這種觀點，就是放諸我日后的科學(xué)生涯中，也有其可取之處。
作文堂的一個典型題目︰豬的哲學(xué)觀
于是大伙兒興高采烈，自由發(fā)揮。
在班里我并非名列前茅，數(shù)學(xué)科的等級也不見得最高。但我比同班諸子想得更深，書也讀得更多。
中學(xué)讀書，除數(shù)學(xué)外，真正對我前途有影響的是國文和歷史。
現(xiàn)在來談?wù)勚袑W(xué)國文和歷史對我的影響。最重要的是立志，覺得做學(xué)問是一輩子的志愿。
典論
論文
曹丕
蓋文章，經(jīng)國之大業(yè)，不朽之盛事。年壽有時而盡。榮樂止乎其身。二者必至之常期，夫若文章之無窮。是以古之作者，寄身于翰墨，見意于篇籍，不假良史之辭，不托飛馳之勢，而聲名自傳于后。
立志之后，必需培養(yǎng)興趣，而做習(xí)題和思考是不二法門︰
論語
學(xué)而時習(xí)之，不亦樂乎。
學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆。
楚辭
路曼曼其修遠(yuǎn)兮
吾將上下而求索
做學(xué)問要有興趣，才能深入，但追求學(xué)問的道路曲折有致，必須要有毅力，才能持久。
楚辭
亦余心之所善兮
雖九死其猶未悔
抽思
惟郢路之遼遠(yuǎn)兮
魂一夕而九逝
在中學(xué)和大學(xué)的教育中最重要的一環(huán)是︰
培養(yǎng)氣質(zhì)
孟子︰我知言，我善養(yǎng)吾浩然之氣。
曹丕︰譬諸音樂，曲度雖均，節(jié)奏同檢，至于引氣不齊，巧拙有素，雖在父兄，不能以移子弟。
岑參︰性靈出萬象。
但是師友和讀書的環(huán)境卻足以轉(zhuǎn)變?nèi)说那閼蜒胖尽?/p>
汪中︰撫弦動曲，乃移我情。
做學(xué)問，無論是自然科學(xué)或文學(xué)都有氣質(zhì)的問題，從文章中，往往可以看出作者的修養(yǎng)。古代注重音樂，從樂聲中可以看見國家的盛衰，也是同樣的道理。
季札觀樂﹙左傳﹚
吳公子札來聘，請觀于同樂，使工為之歌周南召南。曰美哉，始基之矣。猶未也，然勤而不怨矣……
為之歌鄭，曰美哉，其細(xì)已甚。民不堪也，是其先亡乎。
為之歌齊，曰美哉，泱泱乎，大風(fēng)也哉。表東海者，其太公乎……
為之歌大雅，曰廣哉，熙熙乎，曲而有直體，其文王之德乎。
在培養(yǎng)氣質(zhì)上，師友的關(guān)系至為重要。
韓愈
師者，傳道授業(yè)解惑者也。
論語
三人行，必有我?guī)熝伞?
在與師友相交之際，言必及義，而最重要的善于發(fā)問。
善問者如叩鐘，問之大者則大鳴，問之小者則小鳴。中國科學(xué)家最欠缺的是發(fā)問的精神。歷史上最著名的是屈原的天問篇︰
遂古之初，誰傳道之，上下未形，
何由考之……。日月安屬，列星安陳。
以后的學(xué)者很少有這種精神，可能是科學(xué)不發(fā)達(dá)的一個原因。
善于發(fā)問后，才能尋找到自己志趣所在，才能夠擇善而固執(zhí)之。
楚辭
民生各有所樂兮
余獨好修以為常
雖體解吾猶未變兮
豈余心之可懲
涉江
茍余心其端真兮
雖僻遠(yuǎn)之何傷
很多同學(xué)開始時讀書讀得很好，以后就灰心了，不求上進(jìn)，一方面是基礎(chǔ)沒有打好，又不敢重新再學(xué)，一方面是跟師友之間的關(guān)系沒有搞好，言不及義，得不到精神上的支持。有些則名利熏心，不求上進(jìn)。我有些學(xué)生畢業(yè)時很踏實，受到表揚，就以為自己了不起，事實上學(xué)問還沒有成熟就凋謝了。
離騷
何昔日之芳草兮，
今直為此蕭艾也。
豈其有他故兮，
莫好修之害也。
以下引韓愈作文的態(tài)度實在值得各人去參考︰
韓愈 答李翊書
始者非三代兩漢之書不敢觀，非圣人之志不敢存，處若忘，行若遺，儼乎其若思，茫乎其若迷。當(dāng)其取于心而注于手也，惟陳言之務(wù)去，戛戛乎其難哉！……
其觀于人也，毀之則以為喜，譽之則以為憂，以其猶有人之說者存也。如是者亦有年，然后浩乎其沛然矣。吾又懼其雜也，迎而距之，平心而察之。其皆醇也，然后肆焉。雖然，不可以不養(yǎng)也。行之乎仁義之途，游之乎詩、書之源，無迷其途，無絕其源，終吾身而己矣。
一九六六年我進(jìn)了中文大學(xué)。雖然對歷史抱著濃厚的興趣，我還是選擇了數(shù)學(xué)作為我的事業(yè)。
就在這時，中學(xué)時念的高等數(shù)學(xué)漸漸消化，開始時還不大懂，但一下子全都懂了。我比班中同輩高明不少。
大學(xué)的數(shù)學(xué)使我大開眼界。連最基本的實數(shù)系統(tǒng)都可以嚴(yán)格的建立起來，著實另人興奮萬分。當(dāng)我了解數(shù)學(xué)是如此建構(gòu)后，我寫信給教授，表達(dá)我的喜悅。這是本人賞析數(shù)學(xué)之始。
一位剛從柏克萊畢業(yè)的博士來了香港，他名叫史提芬色拉夫﹙Stephen
Salaff﹚。他對我大為贊賞，我們合寫了一本有關(guān)常微分方程的書。
另外一位老師布狄﹙Brody﹚來自普林斯頓。他有一套獨特的教學(xué)法。他找來一本高深的數(shù)學(xué)著作，然后要求學(xué)生在書中找尋錯誤，并提出改正的方法。這是讓我們不要盲目依賴書本的良方。同時也訓(xùn)練了我對書本上定理采取存疑的態(tài)度。我有時將某些定理推廣了，在課堂上說出來，他聽了很高興。這些教導(dǎo)的重要性在于
── 培養(yǎng)成獨立思考的習(xí)慣
──
在人前表達(dá)數(shù)學(xué)同時在表達(dá)數(shù)學(xué)的時候，找出自己的弱點，與同學(xué)和老師一同切磋。
這不論對自己或?qū)ψ约喝蘸蟮慕虒W(xué)都十分要緊。
古人說學(xué)無常師，其實教亦無常法，有之，因人而施教也。
孔門弟子問仁，孔子對每個人有不同的回答方法，而孔門弟子因此各有所長。
孔子教學(xué)有禮樂射御書數(shù)。西方柏拉圖（Plato）教學(xué)有幾何、數(shù)論、天文和音樂，合稱數(shù)學(xué)。
古今中外都以培養(yǎng)通材為訓(xùn)練領(lǐng)袖的主要過程。
現(xiàn)代社會需要政界和工商業(yè)的領(lǐng)袖，也需要大量的工人、會計師、律師等的白領(lǐng)階級和藍(lán)領(lǐng)階級，訓(xùn)練他們可能有不同的層次。但是有一點很重要的︰作為一個知識分子必需要具有推理的能力。
自古以來最要緊和最富用途的就是三段論證方法。在學(xué)校學(xué)習(xí)邏輯方法最好的莫過于平面幾何的公理系統(tǒng)。熟習(xí)證明使我們思考清晰。
良好的中學(xué)教科書，必需要包含公理系統(tǒng)的學(xué)習(xí)。平面幾何的本身可能沒有用途，但是它的方法卻是最重要的。
正如朱自清寫的荷塘月色的內(nèi)容可能不重要，但我們要學(xué)他的文字的應(yīng)用，書寫流暢的做法。學(xué)習(xí)需要融匯貫通，更需要博聞強記。
有些人以為數(shù)學(xué)每一步都可推理，不宜強記，這是極為可笑的說法，我還沒有親眼看過一個偉大的數(shù)學(xué)家有這種能力。即使在做研究的時候，我們不能不記憶前人或近人的工作，使我們能夠向前作新的研究。
往往記熟某一門技巧后，我們會突然融匯貫通，所以多做習(xí)題是很緊要的事，假如能夠讓學(xué)生在課堂上有所表現(xiàn)，不單老師對他們了解，他們也了解自己有甚么不懂的地方。
學(xué)生既要強記，亦要貫通，兩者能混而為一乃是絕妙之處。
同一個問題，可能有超過很多個不同的解法，學(xué)生能用不同的方法解題，值得鼓勵。譬如來說，畢氏定理（勾股定理
）是數(shù)學(xué)中最基本的定理，古往今來有無數(shù)的不同證明，能夠舉出一些不同的證明，會讓學(xué)生了解不同的看法可以達(dá)到同一的目標(biāo)。近代數(shù)學(xué)的大發(fā)展，往往起源于用不同的手法解決同一的問題，所以不可
少看這些不同的證明。
數(shù)學(xué)既可以實用，亦獨立為一至為美麗的學(xué)科，習(xí)題可以重視實用，但絕對要討論看來無用但美麗的工作，重要的數(shù)學(xué)的發(fā)展可以從實用而形成，也可以追求純美而成功，要注意的是︰所有重要的實用數(shù)學(xué)都建基在純美的數(shù)學(xué)上。
數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)是分不開的，能夠多談數(shù)學(xué)歷史和數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷，會對培養(yǎng)學(xué)生的興趣有極大的幫助。
一本數(shù)學(xué)教科書能夠引導(dǎo)學(xué)生的興趣是一本最成功的教科書，可以講故事﹙數(shù)學(xué)家的故事、創(chuàng)造這些命題的過程、中國數(shù)學(xué)、希臘數(shù)學(xué)、巴比倫的數(shù)學(xué)、阿拉伯的數(shù)學(xué)，都是有意思而影響著近代數(shù)學(xué)家思維的常識。﹚，可以跟其它學(xué)科如物理、工程、經(jīng)濟(jì)、音樂等等溝通的數(shù)學(xué)都值得討論。能使學(xué)生以學(xué)數(shù)學(xué)為樂乃是成功的教科書。
雖然只讀了三年大學(xué)，已經(jīng)完成了大學(xué)的課程。在沙拉夫教授的幫助下，我進(jìn)入了柏克萊的研究院。柏克萊的數(shù)學(xué)系當(dāng)時在世界數(shù)一數(shù)二。我八月入校，便認(rèn)識了陳省身教授。他后來成為我的論文導(dǎo)師。
在香港時我醉心于極度抽象的數(shù)學(xué)﹙當(dāng)然我的分析功夫也很扎實﹚，覺得數(shù)學(xué)愈廣泛愈好。我打算念泛函分析，已經(jīng)學(xué)了不少這方面的東西，包括丹福一史華滋有關(guān)的巨冊，還有不少有關(guān)算子代數(shù)的書。到柏克萊后，認(rèn)識不少卓越的學(xué)者，我的看法改變了。
我如饑似渴地從他們處學(xué)習(xí)不同的科目。從早上八時到下午五時我都在上課﹙有時在班上吃午飯﹚。這些學(xué)科包括拓樸、幾何、微分方程、李群、數(shù)論、組合學(xué)、概率及動力系統(tǒng)。我并非科科都精通，但對某幾門學(xué)問格外留神。學(xué)拓樸時，發(fā)現(xiàn)跟以前學(xué)的完全不同。班上五十人，每個人看來都醒目在行，比我好多了。他們表現(xiàn)出色，說話條理分明。
于是我埋首做好功課，不久之后，我發(fā)現(xiàn)自己畢竟也不賴。關(guān)鍵是做好所有棘手的題目，并把這些題目想通想透。我讀了約翰米拿﹙John
Milnor﹚的一本書，對里面講到的曲率的概念深深著迷。米拿是位卓越的拓樸學(xué)者。
我開始思考與這書有關(guān)的問題，并大部分時間呆在圖書館。當(dāng)時研究生并沒有辦公室。柏克萊名牌教授不少，然而不久之后，我對他們竟有英雄見慣的感覺。在圖書館里我讀了不少書藉和期刊。
在柏克萊的第二個學(xué)期，我漸漸能證出一些不簡單的定理。這些定理與群論有關(guān)。在崇基時，我跟老師聊天時曾談及有關(guān)的內(nèi)容，我現(xiàn)在把它用到幾何上去。教授都為我的進(jìn)展而驚訝不已，欣慰非常。其中一位教授開始與我合作，寫了兩篇論文。陳省身教授其時正在放年假。當(dāng)他回來時，對我的表現(xiàn)甚為嘉許。
縱然如此，對這些工作我倒不覺得怎樣。摩里教授﹙Charles B. Morrey﹚有關(guān)非線性偏微分方程的課，令人難忘。他教授的非線性技巧，當(dāng)時并不流行。他的書也佶屈聱牙。但我隱隱感覺到他發(fā)展的技巧十分深奧，對未來幾何學(xué)的發(fā)展舉足輕重。我用心地學(xué)習(xí)這些技巧。雖在盛名之下，聽他課的學(xué)生同事都不多。到學(xué)期終結(jié)時，我竟成為他班上唯一的學(xué)生。他索性就在辦公室里授課了。這科目后來成為我數(shù)學(xué)生涯的基石。
完成幾篇文章后，陳教授到處說我是何等出色，雖然他對我的工作認(rèn)識不深。我開始全盤地思考數(shù)學(xué)，尤其是幾何。我也試圖去研究幾何學(xué)的其它問題，可是進(jìn)度緩慢。這年夏天老友鄭紹遠(yuǎn)從香港來了，我們在校園旁租了一所〝柏文〞，心情更加開朗了。
就在這個夏天，我請求陳教授當(dāng)我的論文導(dǎo)師，他答應(yīng)了。約一個月后，他告訴我，我在一年級時的文章，已夠格作為畢業(yè)論文。我有點悶納，心想這些工作還不夠好，而且我還希望多學(xué)點東西。就這樣，在第二個學(xué)年中我學(xué)了不少復(fù)幾何及拓樸。陳師對我期望甚殷，他提議考慮黎曼猜想。十分遺憾的是，到目前為止，我還沒有想過它。
代而之者，我嘗試去了解空間的曲率。我確認(rèn)卡拉比﹙E.
Calabi﹚在五十年代作出的某建議，會是理解這概念的關(guān)鍵。當(dāng)時我不認(rèn)為卡拉比是對的。我開始對此深思苦想。這并不是個當(dāng)代幾何學(xué)者研究的標(biāo)準(zhǔn)課題，明顯地，這是分析學(xué)上的一道難題，沒有人愿意跟它沾上邊。
我漸漸養(yǎng)成把分析作為工具引進(jìn)幾何中的志趣。在此之前，曾有人把非線性理論用于三維空間的曲面上。但我考慮的，卻是任意維數(shù)的抽象空間。
由于摩里教授及陳師對極小曲面的興趣，我亦對這項目深深著迷。對調(diào)和映照尤其情有獨鍾，并因此鉆研了變分法。
我對幾何中的所有分析內(nèi)容都感興趣。簡而言之，就是要把非線性微分方程和幾何融匯成一體。要了解非線性方程，就必須先了解線性方程。因此我建立了在流形上調(diào)和函數(shù)的主要定理。在我的影響下，鄭紹遠(yuǎn)研究了有關(guān)的特征值及特征函數(shù)等問題。我們合作寫了幾篇重要文章，到而今還是這項目的基礎(chǔ)。
畢業(yè)時我得到幾份聘書。陳師提議我到高等研究所，那兒的薪水不及哈佛提供的一半。但我還是到那兒去了。在高等研究所我認(rèn)識了其它科目出色的數(shù)學(xué)家。同時提升了對拓樸，尤其是空間對稱理論的鑒賞力。事實上，利用分析的想法﹙在流形上的群作用﹚，我解決了這科目的一些重要課題。
由于簽證的問題，我到了紐約石溪分校。當(dāng)時石溪是尺度幾何的重鎮(zhèn)，事實上那兒真的不錯，聚集了一批朝氣勃勃的幾何學(xué)家。我學(xué)習(xí)他們的技巧，但并不認(rèn)為那是幾何的正確方向。
一年后我到了史丹福，當(dāng)時那里并沒有幾何學(xué)者。史丹福環(huán)境安寧，非線性偏微分方程很出色。在那里我碰見好友李安西門及共同的弟子孫理察。我們一起拓展了在幾何上的非線性分析。
陶淵明
久在樊籠里，復(fù)得返自然。
我剛到史丹福時，一個幾何大會正在舉行。有位物理學(xué)家應(yīng)邀就廣義相對論發(fā)言。
當(dāng)時我對物理還不算在行。但對他提及有關(guān)相對論的一個幾何問題卻一見傾心。賦予空間的數(shù)學(xué)解釋，與空間物理導(dǎo)出數(shù)學(xué)問題，兩者皆令人神往。
問題當(dāng)時對我而言，還是遙遠(yuǎn)不可及。但我對它念念不忘。
在會議期中，我找到了一個辦法，去反證卡拉比的提議。我發(fā)表了我的想法，反應(yīng)似乎不錯，沒人提出異議。人們都松了口氣，畢竟大家都猜對了，卡拉比猜想是不對的。
兩個月后，卡拉比教授寫信給我，厘清了我的一些想法。
我在推理中找到一個嚴(yán)重的缺口。在我的研究生涯中，這可說是最痛苦的經(jīng)歷了。我輾轉(zhuǎn)反側(cè)，不能成眠。差不多兩個星期都失眠，眼見名譽因犯錯﹙雖然我沒把想法成文發(fā)表﹚而毀于一旦。經(jīng)過反復(fù)仔細(xì)審閱每個步驟后，我相信問題反過來才對。為卡拉比猜想舉出反例，其論據(jù)是先假設(shè)它是對的，然后考慮其后果。數(shù)年后，當(dāng)我解答了這個猜想，很多有關(guān)的自然推論就水到渠成了。
意識到卡拉比猜想是對的后，我便朝著正確的方向邁進(jìn)。在準(zhǔn)備最后的證明前，需要大量的準(zhǔn)備工作。我和鄭紹遠(yuǎn)合作研究蒙奇─安培方程、仿射幾何、極大曲面等相關(guān)問題。與孫理察合作搞調(diào)和影照，與孫理察和李安西門搞極小曲面。在短短兩年里，我們于與幾何有關(guān)的非線性分析，碩果累累。這是幾何學(xué)的黃金時代。
屈原
固余心之所善兮，
雖九死而猶未悔。
新婚伊始，我找到完成卡拉比猜想的正確想法。我終于掌握了凱勒﹙Kahler﹚幾何中的曲率了。
一些老大難的代數(shù)幾何問題，都因卡拉比猜想的證明而解決掉。當(dāng)時我認(rèn)為我首先了解到Kahler幾何的曲率結(jié)構(gòu)后，有物我相融的感覺︰落花人獨立 微雨燕雙飛
紐約時報 2003年9月2日
宇宙一懸案 眾人答案殊
弦理論中的一個困難在于它要用十維的時空來描述，而我們生存的空間只有四維而已。史創(chuàng)敏格﹙Strominger﹚博士回憶起他在找到數(shù)學(xué)家丘成桐博士的一份論文時的萬分喜悅之情。丘博士現(xiàn)在任教于哈佛大學(xué)及香港中文大學(xué)。在這篇文章里他證明了尤金尼奧?卡拉比﹙Eugenio
Calabi﹚博士提出的猜想�？ɡ炔┦楷F(xiàn)已從賓夕凡尼亞大學(xué)退休。猜想指出這些額外的維數(shù)雖然不可捉摸，但在微觀下可以想象它們卷曲起來，就像地毯的小毛圈。
完成卡拉比猜想的證明后，我看出自己建立了融合兩門重要科目──非線性偏微分方程和幾何──的架構(gòu)。
一九七六年我在
UCLA碰見老友麥克斯﹙Meeks﹚，他是我在研究院時的同學(xué)。他的景況不大好。Meeks
是位具原創(chuàng)性的數(shù)學(xué)家，我向他提議合作，試圖把極小曲面和三維流形的拓?fù)渎?lián)系起來。
結(jié)果成績斐然。我們解決在這兩門科目中的兩個經(jīng)典難題︰
1.
當(dāng)一塊肥皂膜的邊界是凸時，膜面不能自相交。
2.史密斯猜想的證明，這是與霍斯頓﹙Thurston﹚工作結(jié)合的成果。
一旦把方向校正了，很多古典問題便能迎刃而解。
次年，我回到柏克萊訪問，并組織了“幾何上非線性問題”的研討班。孫理察和鄭紹遠(yuǎn)都在那兒。和理察一起，我們終于解決了那個使我念念不忘的有關(guān)廣義相對論的難題。這道難題叫做正質(zhì)量猜想，它在廣義相對論中占基本的地位。﹙只有當(dāng)質(zhì)量為正時，時空才能穩(wěn)定。﹚
一九七八年我又回到史丹福。和蕭蔭棠一起，我們利用極小曲面作為工具，解決了復(fù)幾何上有名的法恩科﹙
Frenkel
﹚猜想。我也利用了調(diào)和映照作為工具去研究離散的群對稱。這些想法，迄今仍有其價值。利用我們在廣義相對論的工作，孫理察和我研究了具正純量曲率的流形的結(jié)構(gòu)。
一九七九年我們在高等研究所舉辦微分幾何年。差不多所有幾何學(xué)家都來了。我們?yōu)閹缀螌W(xué)厘定了發(fā)展的方向。我提出一百條在幾何里的有趣問題。到目前為止，有的已經(jīng)解掉了，但有的還是迄立不動。
七十年代確是幾何學(xué)的豐收期。
到了七十年末期，我在數(shù)學(xué)界可說是略有名望。對于我解決的難題，媒體也有廣泛報導(dǎo)。然而，認(rèn)為我的奮斗目標(biāo)是獎項，是成名成家，那就不對了。這些都不是本人研究的首要目標(biāo)。我對數(shù)學(xué)的興趣，源于人類智能足以參悟自然的欣喜。從幾何上看，大自然的美是永恒不朽的。
與朋輩如孫理察、西門、鄭紹遠(yuǎn)、麥克斯﹙Meeks﹚、烏蘭貝克﹙K.Uhlenbeck﹚、漢米爾頓﹙R.Hamilton﹚，和稍后的當(dāng)勞遜﹙S. Donaldson﹚、塔貝斯﹙H. Taubes﹚、惠斯根﹙G. Huisken﹚等人的共同努力下，幾何上的非線性分析已匯成大流。它于探討自然之美中的作用不容低估。晚近的進(jìn)展更顯示它在物理及其它應(yīng)用科學(xué)中的重要性。
當(dāng)幾個重要領(lǐng)域──幾何、非線性分析、代數(shù)幾何、數(shù)學(xué)物理──自然地融合在一起后，經(jīng)典的老大難題便會迎刃而解。解決難題可以視為人們理解大自然的路燈柱。
但是幾何學(xué)實在超越了科學(xué)家的想象，它日新月異，觀念層出不窮，偉大的數(shù)學(xué)家高斯曾說︰ “竊意以為幾何之本，其真?zhèn)螌嵎侨祟愋闹撬茏C明，亦非人類心智所能理解者，余意于此，日久邇堅。此等空間之屬性，莫測高深，后之來者，或有灼見，得窺堂奧。惟今之世，吾輩宜視幾何學(xué)與純先驗之算術(shù)為殊途，宜彼與力學(xué)并列也。C.
F. 高斯 (1817)
在過去十年間，我和合作伙伴正在致力研究基本物理在幾何中的作用。為了從物理中掌握動機后面的直觀，我花了不少時間參加物理系辦的研討班。在與理論物理學(xué)家的交往中，我們獲得了一些數(shù)學(xué)上深刻的定理。其中重要的概念是所謂對偶性。對偶性這概念，優(yōu)美典雅。它指出在某理論中的強作用等同于另一理論中的弱作用。這與中國道家或陰陽有不少共通之處。但對偶性嚴(yán)格得多，同時它是定量的。利用它我們可以算出某些數(shù)學(xué)量。如果用其它方法來進(jìn)行，那是極度困難的。
為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)，實屬顯然，何須三思。
于無用諸物理學(xué)之種種數(shù)學(xué)理論，均需一視同仁，與其它理論無分軒輊。---- 彭加箂
使余復(fù)稚年，童蒙初習(xí)，則愿從柏拉圖之教晦，自數(shù)學(xué)始。---- 伽里略
關(guān)于香港數(shù)學(xué)課程的評論，在上述個人的經(jīng)歷中，我已經(jīng)指出我在香港受到良好的數(shù)學(xué)教育，但是由我接觸到的香港學(xué)生和教育工作同事的談?wù)撝校野l(fā)覺香港的數(shù)學(xué)教育質(zhì)素，與當(dāng)年的名校相比，質(zhì)素有明顥的下降。
一方面注重普及教育，在有意和無意間，將有興趣和有意義的數(shù)學(xué)教育忽略。即使學(xué)生質(zhì)素良好，只是學(xué)習(xí)淺易的課題，既無挑戰(zhàn)性又無興趣，慢慢就喪失學(xué)習(xí)的目標(biāo)，而自暴自棄。在九零年代，香港很多好的中學(xué)生高中到外國留學(xué)實在不少，但是即使留學(xué)的中學(xué)生，大多不想念研究院，與五零年代到八零年代中葉大不相同，留在香港讀大學(xué)的學(xué)生，對基本科學(xué)的興趣也極為缺乏。
但是這三年來香港學(xué)生開始對學(xué)問又重新拾起興趣，但是太過注重普及教育，而不教育美麗而能夠幫助訓(xùn)練學(xué)生邏輯的幾何學(xué)，是一個很大的錯誤。
數(shù)學(xué)里面種種的分枝，如概率論、線性方程組、微積分、代數(shù)和它們在物理學(xué)、工程學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用都應(yīng)當(dāng)使學(xué)生有所接觸，更重要的是要求他們做習(xí)題，融會貫通的唯一方法是多學(xué)多思考多討論，并多接觸課外書。
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