沿著愛(ài)因斯坦之路漫漫探索
——丘成桐漫談數(shù)學(xué)與物理學(xué)交匯的三種時(shí)態(tài)
2008年5月28日下午，文新大廈二樓“文匯講堂”的講座現(xiàn)場(chǎng)迎來(lái)了著名華人數(shù)學(xué)家丘成桐教授。他為文匯報(bào)讀者奉獻(xiàn)了一道科普大餐，以“數(shù)學(xué)和物理學(xué)的交匯：過(guò)去、現(xiàn)在和未來(lái)”為題解析了數(shù)學(xué)前沿的n個(gè)猜想和影響。令我們欽佩的是，丘成桐在講座上委托文匯報(bào)社將講課費(fèi)和其它稿費(fèi)悉數(shù)捐贈(zèng)給了“汶川地震災(zāi)區(qū)孤兒助養(yǎng)助學(xué)基金”。今天，欄目組特將講座內(nèi)容整理刊發(fā)，以饗讀者。
今天很高興來(lái)到這邊，給大家講講數(shù)學(xué)跟物理學(xué)的交匯。可能比較專業(yè)一點(diǎn)，但我覺(jué)得這是個(gè)很有意思的題目。
從前我講過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)跟中國(guó)文學(xué)的比較。今天講數(shù)學(xué)跟物理學(xué)的交匯，主要是數(shù)學(xué)是一門(mén)科學(xué)，它跟大自然、也跟文學(xué)有密切的關(guān)系。對(duì)整個(gè)物理學(xué)界有很深刻的影響，因?yàn)閿?shù)學(xué)是物理學(xué)界的語(yǔ)言�？墒菙�(shù)學(xué)家跟物理學(xué)家有很多不同的地方，能夠創(chuàng)造一些理論是物理學(xué)家想不到的。這是我選這個(gè)題目的主要原因。
古時(shí)：物理學(xué)和數(shù)學(xué)差別不大 古人用幾何方法測(cè)得地球直徑
古時(shí)候，物理學(xué)跟數(shù)學(xué)基本上沒(méi)有什么大的分別。數(shù)學(xué)的發(fā)展基本上是依賴于實(shí)際的應(yīng)用�！秾O子算經(jīng)》里的“中國(guó)剩余定理”是為糾正舊歷法的需要而得來(lái)的，就是一個(gè)很好的例子。
另一方面，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派和中國(guó)古代易經(jīng)學(xué)派都把數(shù)字神秘化了。他們相信世界上萬(wàn)事萬(wàn)物都可以用數(shù)字解釋。其中有些發(fā)展并不科學(xué)，可是對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)界跟科學(xué)界有很大的影響。但就畢達(dá)哥拉斯學(xué)派而言，它發(fā)展為抽象推理。希臘數(shù)學(xué)家又利用數(shù)學(xué)的抽象思維與唯美的觀念，以初等幾何（見(jiàn)歐幾里德的《幾何原本》）為基礎(chǔ)，構(gòu)建起一個(gè)演繹邏輯體系。
這種演繹推理的方法被廣泛而有效地利用。無(wú)論牛頓還是愛(ài)因斯坦的名著都用演繹方法寫(xiě)成。愛(ài)因斯坦講：“推理所帶來(lái)的巨大成就感為人類智慧走向輝煌提供了必要的信心�！惫糯鷶�(shù)學(xué)由幾何學(xué)和數(shù)論開(kāi)始，以后產(chǎn)生了代數(shù)和分析學(xué)。
實(shí)際上幾何和測(cè)量學(xué)有很密切的關(guān)系。在公元前240年的時(shí)候，一個(gè)希臘的數(shù)學(xué)家Eratosthene，利用平面幾何的推論來(lái)量度了地球的直徑，他在埃及兩個(gè)不同地方，看太陽(yáng)折射的光線跟角度，用幾何的方法算出來(lái)地球的直徑，這是很了不起的結(jié)果。因?yàn)樗愠鰜?lái)的結(jié)果跟我們現(xiàn)在知道的結(jié)果相差只有1%。他也量出來(lái)了太陽(yáng)跟月球和地球的距離，就是用地球的直徑來(lái)幫助量出來(lái)的。量出來(lái)的準(zhǔn)確度都很好。
19世紀(jì)：微積分計(jì)算物理現(xiàn)象 肥皂泡問(wèn)題成為有用工具
古時(shí)候，初等幾何主要由三角、多邊形、圓、球和圓錐截面構(gòu)成。直到牛頓發(fā)表了他的名著，和萊布尼茨同時(shí)發(fā)明了微積分，幾何的范疇才得以擴(kuò)大。（當(dāng)然他們能有如此卓越的成就，是因?yàn)樗麄冋驹诎⒒椎�、笛卡爾等巨人的肩膀上。）微積分不僅僅是理解任意幾何對(duì)象的關(guān)鍵，而且還可以在牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)上計(jì)算天象和種種物理現(xiàn)象，因此是當(dāng)代科學(xué)的基礎(chǔ)。反之亦然，牛頓力學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題上的成功，推進(jìn)了微積分的發(fā)展，進(jìn)而極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。最終，我們找到了力學(xué)的基礎(chǔ)工具。包括多體問(wèn)題的動(dòng)力系統(tǒng)和流體動(dòng)力學(xué)，激發(fā)了數(shù)學(xué)許多分支學(xué)科的發(fā)展。例如，在研究相空間的過(guò)程中，龐加萊開(kāi)創(chuàng)了現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的研究。歐拉、拉格朗日等人開(kāi)創(chuàng)的流體動(dòng)力學(xué)和變分法對(duì)當(dāng)代科學(xué)有巨大影響。不僅關(guān)于變分法的公式在機(jī)械工程和理論物理中有重要應(yīng)用，方程及其解的性質(zhì)也改變了我們對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)。對(duì)于像肥皂泡問(wèn)題研究等貌似簡(jiǎn)單的學(xué)科，已經(jīng)成為非常有用的工具，也是至今幾何學(xué)中研究最多的問(wèn)題之一。歐拉、蒙日、高斯和其它經(jīng)典幾何學(xué)家耗費(fèi)了大量精力去研究曲面在三維空間中的性態(tài)。其中高斯的工作最為杰出，他意識(shí)到高斯曲率的內(nèi)在性質(zhì)。
高斯相信理解新的空間概念的惟一方法是力學(xué)（他是指物理學(xué)）。他對(duì)內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)有強(qiáng)烈興趣，內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)不依賴于其所嵌入的帶有全局坐標(biāo)的歐幾里德空間。高斯和其它幾何學(xué)家已經(jīng)拓展了對(duì)雙曲幾何學(xué)的定義。但是，直到黎曼才對(duì)內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)有了明確的定義。在這里，我引用一段愛(ài)因斯坦于1933年在劍橋大學(xué)進(jìn)行斯賓塞講座時(shí)的一段話：“但創(chuàng)造性的定律都源于數(shù)學(xué)。為了證明這個(gè)信念，我不得不利用一個(gè)數(shù)學(xué)概念：物理世界是由四維時(shí)空連續(xù)體表示的。如果假設(shè)其中有一個(gè)黎曼度量，并想知道這個(gè)度量可能滿足的最簡(jiǎn)條件，就能得出真空萬(wàn)有引力的相對(duì)論理論。如果假設(shè)在真空中有一個(gè)向量場(chǎng)或反對(duì)稱張量場(chǎng)，就能得到麥克斯韋真空方程。
另一方面，有趣的是，高斯和黎曼兩位偉大的數(shù)學(xué)家都努力進(jìn)行電磁學(xué)的基礎(chǔ)研究。但當(dāng)他們快要成功時(shí)，卻被麥克斯韋搶先了，當(dāng)時(shí)法拉第做了重要實(shí)驗(yàn)，麥克斯韋從他那里獲得了第一手材料并學(xué)習(xí)了場(chǎng)理論的概念。這個(gè)很好的例子，也說(shuō)明了研究者貼近觀測(cè)是非常重要的。
觀測(cè)在數(shù)學(xué)中有著重要的作用，體現(xiàn)在像群論和傅立葉分析等重要學(xué)科上。Frobenius,Lie和Klein關(guān)于群論的著作一直影響著數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域。Klein提出按照對(duì)稱（愛(ài)爾朗根綱領(lǐng)，Erlangen
program）的觀點(diǎn)來(lái)組織幾何學(xué)，Cartan則在試圖合并對(duì)稱和黎曼幾何的定義時(shí)，發(fā)展在纖維叢上的聯(lián)系。這些都成為粒子物理學(xué)的最基本工具。傅立葉理論開(kāi)始時(shí)并未被廣泛接受。但傅立葉理論的作用已超過(guò)了數(shù)學(xué)、工程學(xué)和基礎(chǔ)物理。
20世紀(jì)：幾何與物理加速度交織 數(shù)學(xué)加盟GPS定位儀制作
在過(guò)去的一個(gè)世紀(jì)，數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展迅速而內(nèi)容深入和廣泛，即使是過(guò)去的數(shù)學(xué)和物理學(xué)大師也必定難以置信。在世紀(jì)之交，偉大的數(shù)學(xué)家龐加萊、希爾伯特和Cartan在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域作出了重要貢獻(xiàn)。這對(duì)幾何和理論物理的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響。
龐加萊對(duì)狹義相對(duì)論的發(fā)展作出了貢獻(xiàn)，為了研究動(dòng)力系統(tǒng)的相空間，他創(chuàng)立了現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。拓?fù)鋵W(xué)是很重要的學(xué)科，它影響了整個(gè)世紀(jì)。希爾伯特則致力于數(shù)論、幾何不變量的理論和廣義相對(duì)論中重力作用的研究。
愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論對(duì)于幾何的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響�？梢赃@樣講，如果沒(méi)有引進(jìn)黎曼幾何（由Grossman向愛(ài)因斯坦建議），建立廣義相對(duì)論還需要更長(zhǎng)的時(shí)間。反過(guò)來(lái)，廣義相對(duì)論對(duì)幾何的發(fā)展特別是在20世紀(jì)是很重要的。物理學(xué)家對(duì)大自然有不同的深入的洞察力，這是數(shù)學(xué)家缺乏的。而從洞察力引起的數(shù)學(xué)觀念往往帶來(lái)很新鮮同時(shí)意想不到的效果。
就我個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)而言，三十年前，如果沒(méi)有研究物理學(xué)的朋友堅(jiān)持認(rèn)為廣義相對(duì)論中正質(zhì)量猜想是正確的（這個(gè)猜想指出在引力場(chǎng)的作用下，質(zhì)量還是正的），我也不可能和Richard
Schoen去證明它。當(dāng)時(shí)在廣義相對(duì)論里面遇到很大的困難，因?yàn)閺V義相對(duì)論是非線性的理論，非線性的理論證明遇到很大的困難。當(dāng)時(shí)物理學(xué)家提出正質(zhì)量猜想的時(shí)候，我們覺(jué)得很困難。因?yàn)閺募儙缀蔚挠^念來(lái)看不太可能是對(duì)的�？墒俏锢韺W(xué)家認(rèn)為是對(duì)的，所以我們才堅(jiān)持新的技術(shù)做下去。最后我們證明了還是對(duì)的。證明的方法是完全數(shù)學(xué)的方法，幾何的方法�？墒俏覀儚膸缀蔚姆椒ǹ床怀鰜�(lái)，它為什么會(huì)對(duì)。而從物理學(xué)家的觀點(diǎn)來(lái)講，曉得這是對(duì)的，所以我們有信心去把這樣的問(wèn)題解決。所以我們看得出來(lái)物理學(xué)家有他的洞察力，是我們數(shù)學(xué)家不一定有的。可是物理學(xué)家當(dāng)時(shí)沒(méi)有能力將事情解決，用的還是我們幾何的方法。
二十世紀(jì)的理論物理的支柱除了廣義相對(duì)論外，還有量子力學(xué)，量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（有重要貢獻(xiàn)的科學(xué)家有Weyl，von
Neumann,Wigner等）還有許多問(wèn)題有待研究。
在二十世紀(jì)上半葉，除了線性算子理論在量子力學(xué)和幾何學(xué)中有重要的應(yīng)用外，非線性方程與物理和幾何現(xiàn)象來(lái)得更為密切，因此應(yīng)用更為深入。因?yàn)閹缀窝芯康膶?duì)象是波動(dòng)的，是一個(gè)球面，所以是由非線性的方程來(lái)描述的。這幾十年來(lái)我們發(fā)展了一個(gè)叫幾何分析的概念，就是將幾何學(xué)、方程學(xué)、物理學(xué)融合在一起的一個(gè)學(xué)科。因此，可以說(shuō)幾何引發(fā)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。愛(ài)因斯坦將幾何的重要部分定義為“實(shí)用幾何”：“（實(shí)用）幾何是由于了解實(shí)際物體的需要而產(chǎn)生的�！蔽抑v這句話是因?yàn)橹袊?guó)有很多數(shù)學(xué)家也在做幾何分析，可是不了解我們?yōu)槭裁匆鰩缀畏治觯@主要是由于要了解幾何實(shí)體物體而需要產(chǎn)生的。
幾何學(xué)可能是數(shù)學(xué)中最為貼近基礎(chǔ)物理的一個(gè)古老分支。它以多種的形式為物理世界提供語(yǔ)言和直覺(jué)。讓我們關(guān)注當(dāng)代幾何的主要問(wèn)題——空間（時(shí)間）中的幾何結(jié)構(gòu)。
在研究幾何學(xué)里面，有幾個(gè)最重要的方程，第一個(gè)方程就是剛才講過(guò)的愛(ài)因斯坦方程，無(wú)論是洛倫茲幾何還是黎曼幾何，都可以定義為愛(ài)因斯坦方程。這對(duì)幾何學(xué)未來(lái)的發(fā)展有重要的影響。
1915年，在愛(ài)因斯坦發(fā)表廣義相對(duì)論后，Cartan和Weyl等數(shù)學(xué)家都受到啟發(fā)，對(duì)時(shí)空的觀念作出了一些貢獻(xiàn)。這些理論是現(xiàn)代規(guī)范場(chǎng)論的基礎(chǔ)，在這里楊振寧教授提出了他的劃時(shí)代的方程，解決了基本粒子的相互作用力。
值得注意的是，1954年楊振寧和米爾斯寫(xiě)下楊-米爾斯方程時(shí)，數(shù)學(xué)家都不關(guān)注，也沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程就是曾研究過(guò)的向量叢的曲率方程。Singer和Simons向楊振寧提到了兩者的關(guān)聯(lián)，因此也促進(jìn)了數(shù)學(xué)和物理學(xué)的結(jié)合。
你可能會(huì)問(wèn)愛(ài)因斯坦方程又復(fù)雜又難明，研究的對(duì)象又是遙遠(yuǎn)的天體問(wèn)題，對(duì)我們有什么好處。最近我有作天文的朋友告訴我，這十年來(lái)最重要的一個(gè)發(fā)明叫Global
Positioning System全球定位儀的制作，除了光學(xué)和原子鐘的突破外，還用了深入的數(shù)學(xué)計(jì)算和Schwarzchild對(duì)愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程的解。當(dāng)然是GPS衛(wèi)星定位，只要定位相差15米，可是他們發(fā)覺(jué)要定義到英米，差不多要有很正確的數(shù)據(jù)。因?yàn)榈厍蚴且粋�(gè)深球，從空中傳播光過(guò)來(lái)的時(shí)候，光線會(huì)受到地球的變動(dòng)調(diào)整，你要得到很準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)就要用到廣義相對(duì)論。可以講這是現(xiàn)代的一個(gè)問(wèn)題，雖然表面上無(wú)關(guān)，可是它往往在不同的場(chǎng)合表現(xiàn)出它的重要性。所以我們要深入又要旁通各支各門(mén)的學(xué)科，不能輕視看來(lái)無(wú)用的學(xué)問(wèn)。
弦理論：愛(ài)因斯坦夢(mèng)想或能實(shí)現(xiàn) 生存時(shí)空將有新的突破
在現(xiàn)代幾何里面，25年來(lái)有一個(gè)很重要的貢獻(xiàn)，叫超對(duì)稱性，它是從現(xiàn)代物理產(chǎn)生的，叫作弦理論。在這個(gè)理論里面，通過(guò)超引力的想法產(chǎn)生出來(lái)很多幾何的結(jié)構(gòu)。幾何的結(jié)構(gòu)是很奇妙的。如果沒(méi)有弦理論學(xué)家的工作，那么現(xiàn)代數(shù)學(xué)很多方面的發(fā)展將會(huì)需要很長(zhǎng)的時(shí)間。因?yàn)閺乃麄兊亩床炝椭鉀Q了很多古典的問(wèn)題。而如果沒(méi)有數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)，弦理論學(xué)家可能早就對(duì)他們理論的兼容性失去信心。弦理論可以從數(shù)學(xué)里面得到相當(dāng)多的驗(yàn)證。從這里可以看到數(shù)學(xué)和物理學(xué)是相輔相成的。
到目前為止，人們?nèi)匀辉趯ふ乙粋�(gè)能夠結(jié)合量子理論和廣義相對(duì)論的幾何學(xué)，探索之路是很漫長(zhǎng)的，因?yàn)檫@是一個(gè)偉大的、人類夢(mèng)寐以求的事情。整個(gè)世紀(jì)以來(lái)，尤其是愛(ài)因斯坦在他晚年的30多年，惟一的希望就是能夠看到廣義相對(duì)論和量子理論能夠融合。探討的過(guò)程很漫長(zhǎng)，也很困難，我們同時(shí)也會(huì)遇到幾何上的有趣問(wèn)題，但是我們希望通過(guò)了解它們的結(jié)構(gòu)，能夠給我們帶來(lái)對(duì)生存時(shí)空的新領(lǐng)悟。
所以數(shù)學(xué)和物理學(xué)是互補(bǔ)的，互相能夠幫助對(duì)方。
地震測(cè)量和Fourier理論
大家關(guān)心的地震波是在地下傳送的，也是個(gè)波動(dòng)方程，而且是在二元方程里面。海浪在大洋里面的運(yùn)動(dòng)也是由這種方程來(lái)決定的。我們對(duì)它們的了解遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。我想很多聽(tīng)眾第一個(gè)反應(yīng)就是講，我們對(duì)地震的預(yù)測(cè)，是跟方程的研究有很密切的關(guān)系。我們對(duì)這個(gè)方程還不能完全了解，所以現(xiàn)在還有很多的問(wèn)題不能解決。
在十八世紀(jì)末，法國(guó)人傅立葉提出任何一個(gè)波都可以分解為基本波之和，基本波是由物質(zhì)的基本頻率引起的波動(dòng)。正如在音樂(lè)演奏時(shí)，弦管會(huì)出現(xiàn)不同的調(diào)一樣。在公元前六世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯已經(jīng)注意這個(gè)基本現(xiàn)象。
他發(fā)覺(jué)音樂(lè)的基本波只需確定琴弦的長(zhǎng)度、密度和繃緊的程度。地球的本征振動(dòng)也是取決于地質(zhì)的密度和內(nèi)部的彈性及模量。地質(zhì)里面的結(jié)構(gòu)彈出來(lái)的基本波影響到整個(gè)地震波的傳導(dǎo)、變動(dòng)。所以基本波反過(guò)來(lái)用來(lái)猜測(cè)地球里面的地質(zhì)密度，地球里面種種密度的內(nèi)容。這是個(gè)很重要的問(wèn)題，當(dāng)然還沒(méi)有全部解決。
傅立葉理論一開(kāi)始并未被接受，有很多人不相信他提出來(lái)的假設(shè)。最后到了19世紀(jì)才證明他的理論是正確的。但是傅立葉理論現(xiàn)在應(yīng)用的范圍很廣，包括數(shù)學(xué)、工程學(xué)等基礎(chǔ)物理。幾乎凡是有波動(dòng)的問(wèn)題都跟傅立葉理論有關(guān)。假如沒(méi)有他的理論，我們不可能了解電磁波、地震波。同時(shí)三十多年前發(fā)展出來(lái)的快速Fourier變換更是電腦軟體計(jì)算的主要工具，互聯(lián)網(wǎng)能夠迅速傳遞消息需要依靠這種快速算法。
剛才講到地震產(chǎn)生的地震波，就可以用Fourier理論來(lái)分析它的強(qiáng)度及地震發(fā)生的地點(diǎn)。
比如說(shuō)地震波分為三種不同的波，一個(gè)叫縱波，一個(gè)是橫波，一個(gè)叫面波�？v波來(lái)得最快，橫波是第二快�？v波跟橫波的時(shí)間差乘以百公里可以計(jì)算地震發(fā)生的地點(diǎn)。從三個(gè)不同點(diǎn)觀測(cè)就可以確定地震發(fā)生的地點(diǎn)。這是比較簡(jiǎn)單的計(jì)算方法。剛才講到縱波和橫波有不同的強(qiáng)度，強(qiáng)度可以用Fourier分析方法來(lái)計(jì)算。面波在地面上推進(jìn)，毀滅性最大。縱波的毀滅性較小。
嘉賓對(duì)話
（本次對(duì)話嘉賓首次采取郵件報(bào)名、面試挑選方式，由十多名應(yīng)征中產(chǎn)生兩名幸運(yùn)者。）
我做學(xué)問(wèn)愛(ài)從交談中獲得靈感
姚臻（華東師范大學(xué)理工學(xué)院數(shù)學(xué)系大二學(xué)生）：在常人眼里，數(shù)學(xué)家通常是手拿一只筆，關(guān)在黑暗的屋子里解題。所以，我們很想知道，作為數(shù)學(xué)工作者，您的作息時(shí)間是怎么樣的？
丘：我本人的作息時(shí)間跟很多數(shù)學(xué)家不一樣，我有時(shí)候喜歡看什么東西就看什么。所以不能用我的作息時(shí)間來(lái)作為對(duì)主要的數(shù)學(xué)家的看法。一般來(lái)講我早上跟學(xué)生談，談完以后再看一些書(shū)，再聽(tīng)一些課，上上課，晚上想一些問(wèn)題。我跟很多朋友、跟學(xué)生討論數(shù)學(xué)，自己從里面得到很多想法。有時(shí)也因此能夠再問(wèn)一些問(wèn)題。比如說(shuō)跟朋友，其他地方的朋友多交流。我跟其他的數(shù)學(xué)家做學(xué)問(wèn)方式不一樣。
數(shù)學(xué)的成功來(lái)自失敗和走彎路
秦歷寬（復(fù)旦附中高三學(xué)生，已保送北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院）：的確，每一個(gè)數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的方法不一樣，但是在我看來(lái)，數(shù)學(xué)是一門(mén)非常艱澀枯燥的學(xué)科。是什么吸引您獻(xiàn)身數(shù)學(xué)領(lǐng)域，又是什么能使您那么年輕就取得那么大的成就？
丘：數(shù)學(xué)是不是困難，要看每一個(gè)人的想法。如同下棋，你給人家吃掉一個(gè)“軍”，一個(gè)“兵”都覺(jué)得很辛苦，但最后是你能不能贏的問(wèn)題。所以經(jīng)歷很困難的階段，最后是你要解決問(wèn)題。我的朋友海瑞先生是一個(gè)很喜歡玩的數(shù)學(xué)家。他喜歡去滑水、去爬山，喜歡去騎馬�？墒俏腋谝黄�，常常想問(wèn)題想得很深刻。我們嘗試去做一個(gè)問(wèn)題，往往做了100次，總有99次的失敗，有一次成功我們就覺(jué)得很高興。往往成功就是因?yàn)榻?jīng)過(guò)了失敗，所以才會(huì)覺(jué)得很有意思。
我覺(jué)得，一下子就得到的結(jié)果往往是比較浮淺，同時(shí)也沒(méi)有意義。但是有時(shí)候我們一下子得到一個(gè)結(jié)論，因?yàn)槲覀儗?duì)這個(gè)問(wèn)題想了很久了。一個(gè)很小的問(wèn)題我也會(huì)想很久，同時(shí)也經(jīng)過(guò)了痛苦的經(jīng)驗(yàn)，才把這個(gè)問(wèn)題解決。當(dāng)這個(gè)問(wèn)題全部解決的時(shí)候，看起來(lái)很簡(jiǎn)單了，但是我們往往走了很長(zhǎng)一段的冤枉路。又是因?yàn)檫@個(gè)冤枉路才會(huì)覺(jué)得結(jié)果有意思。我這個(gè)人不是天才，我一篇文章改了幾十次才會(huì)覺(jué)得不錯(cuò)。
對(duì)我來(lái)講在過(guò)程里面最重要的是了解數(shù)學(xué)題目整個(gè)過(guò)程，有經(jīng)過(guò)困難，有經(jīng)過(guò)不同的冤枉路才會(huì)成功，才會(huì)珍惜得出來(lái)的結(jié)果。我為什么對(duì)數(shù)學(xué)有興趣，我一開(kāi)始就是覺(jué)得用一個(gè)理論的方法能夠了解到實(shí)際的問(wèn)題。愛(ài)因斯坦講，你用一個(gè)推理的方法能給自己一個(gè)很大的信心�？墒切判氖锹�、一步一步建立起來(lái)的。我有個(gè)年賺十多億美金的朋友，說(shuō)要花25年來(lái)做數(shù)學(xué)，就是有興趣。
秦：看來(lái)數(shù)學(xué)有著非常的美，吸引著很多數(shù)學(xué)工作者去研究。但是對(duì)于很多普通人而言，如何欣賞到數(shù)學(xué)之美呢？
丘：每個(gè)人欣賞的美是不一樣的，到處都可以看到美的地方。你要想辦法找美的地方。你要自己真的想辦法去找，到處找。我記得我十一二歲的時(shí)候，我的父親讓我看《紅樓夢(mèng)》，我看來(lái)看去沒(méi)有什么好，第二次再去看就覺(jué)得有意思。后來(lái)越看越有意思。
數(shù)學(xué)應(yīng)用到社會(huì)科學(xué)還需要時(shí)間
秦：您提到數(shù)學(xué)與自然、物理、化學(xué)，還有金融學(xué)、經(jīng)濟(jì)都有緊密的聯(lián)系。那么是不是金融學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)是因?yàn)閿?shù)學(xué)的成果而得到了更大的發(fā)展？
丘：數(shù)學(xué)應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)學(xué)比較成熟，應(yīng)用到社會(huì)科學(xué)不是很成熟。我想數(shù)學(xué)應(yīng)用到科學(xué)的前景是絕對(duì)沒(méi)有問(wèn)題的。有很多是概率的問(wèn)題，并不是解決某一個(gè)問(wèn)題的。我想最后我們對(duì)社會(huì)科學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)會(huì)有相當(dāng)大的估計(jì)能力。雖然是有些朋友能夠做到，可是并不見(jiàn)得很大量的做到。比如我剛才講的那個(gè)朋友，股票做得很成功的原因就是因?yàn)橛玫綌?shù)學(xué)的方法去做股票。公司里面都是數(shù)學(xué)博士或者是物理學(xué)博士。他們推理的能力比較強(qiáng)。
學(xué)科的交叉性有助于研究成功
姚：丘教授現(xiàn)在社會(huì)上有很多人認(rèn)為單純地把數(shù)學(xué)分為純數(shù)學(xué)、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)，這樣不是特別好。您對(duì)現(xiàn)在社會(huì)上把數(shù)學(xué)分為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)有什么看法嗎？
丘：我是覺(jué)得這是新的分解方法。往往以我個(gè)人的偏見(jiàn)來(lái)講，我覺(jué)得分解是有些人不想念其他的科學(xué)，就分開(kāi)了，說(shuō)我只要念這個(gè)科學(xué)就行了。對(duì)于一名科學(xué)家來(lái)講，我們看見(jiàn)一百年來(lái)，甚至五十年來(lái)應(yīng)用數(shù)學(xué)主要的突破就是有純數(shù)學(xué)家發(fā)展出來(lái)的理論。做一個(gè)普通的應(yīng)用數(shù)學(xué)家是在做小事情。你想做一個(gè)有開(kāi)展性的，有超前性的應(yīng)用數(shù)學(xué)家，非對(duì)其他的學(xué)科有所了解不可。反過(guò)來(lái)講，應(yīng)用數(shù)學(xué)里產(chǎn)生很多有意義的問(wèn)題，對(duì)純數(shù)學(xué)是有幫助的，在我的看法，一個(gè)大學(xué)生，或者一個(gè)研究生，他們兼容并處的能力都很大，很多時(shí)候都是因?yàn)椴幌肽睿瑳](méi)有其他的原因。
讀者提問(wèn) 我愿意用數(shù)學(xué)來(lái)研究地震
張致遠(yuǎn)（小學(xué)五年級(jí)學(xué)生）：我想問(wèn)您一個(gè)問(wèn)題，面對(duì)現(xiàn)在發(fā)生的汶川大地震，如果您是一位指揮官的話，您會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)做些什么呢？
丘：首先關(guān)于這次四川大地震的起因，發(fā)生的時(shí)候我就注意到了。在美國(guó)我們都很悲痛，對(duì)這個(gè)慘狀。我的秘書(shū)就算不是一個(gè)中國(guó)人，他也想替四川災(zāi)區(qū)做一些事情。除了能夠捐助一些金錢(qián)以外，我很愿意花我的時(shí)間、花我的所能來(lái)研究這方面的事情。
數(shù)學(xué)能夠解決這個(gè)問(wèn)題，可是不能解決這么短促發(fā)生的問(wèn)題。對(duì)于中國(guó)政府和全國(guó)老百姓，甚至國(guó)外的朋友對(duì)救災(zāi)的舉動(dòng)，我們都很感動(dòng)，我很佩服胡總書(shū)記跟溫總理的魄力和領(lǐng)導(dǎo)的才干。我自問(wèn)，假設(shè)我在他們的位置，我沒(méi)有能力做這個(gè)事。我想小弟弟，你問(wèn)得很有意思。你大概以為數(shù)學(xué)家什么都能做，事實(shí)上我沒(méi)有這個(gè)能力做。我很佩服中央領(lǐng)導(dǎo)同志的魄力。謝謝。
只要有熱情和好奇什么都能學(xué)好
費(fèi)嘉（復(fù)興中學(xué)初二學(xué)生）：作為我們中學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)好數(shù)學(xué)最有效的途徑是什么？
丘：年輕的小孩子都有熱情，對(duì)做學(xué)問(wèn)也有好奇心，只要你有這兩個(gè)素質(zhì)，什么都可以學(xué)得好。做學(xué)問(wèn)不是為了考試，而是為了一個(gè)人生的追求，一個(gè)熱情的成長(zhǎng)。就算我現(xiàn)在年紀(jì)比你大得多，我對(duì)很多不懂的事情還是想找尋他的答案，無(wú)論是數(shù)學(xué)還是不是數(shù)學(xué)的，只要抱著這個(gè)態(tài)度數(shù)學(xué)很快就可以學(xué)好，因?yàn)槟阌袩崆�，�?huì)好奇，會(huì)去問(wèn)，你不懂得的事情，就問(wèn)老師，問(wèn)朋友。對(duì)你想念的科目沒(méi)有熱情、沒(méi)有好奇的話，那么是很困難的，所以我想你培養(yǎng)這兩個(gè)素質(zhì)。
數(shù)學(xué)即是“發(fā)明”也是“發(fā)現(xiàn)”
王苗艷（復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生）：感謝丘院士給我們講述數(shù)學(xué)和物理學(xué)交匯的神奇，一般來(lái)說(shuō)我們都把物理學(xué)認(rèn)為是自然對(duì)客觀規(guī)律的一種發(fā)現(xiàn)，那么數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明呢？
丘：這是很有意思的問(wèn)題。數(shù)學(xué)表面上看來(lái)是個(gè)參照，不是發(fā)現(xiàn)�？墒俏覀兿霐�(shù)學(xué)是從公理開(kāi)始，所有數(shù)學(xué)都是能夠證明的，否則它不是數(shù)學(xué)。它從某種意義上來(lái)講，完全是一個(gè)不變的真理，因?yàn)閺墓硗茖?dǎo)下去是完全不可有錯(cuò)的，跟物理學(xué)、跟生物學(xué)完全不一樣。在第二個(gè)方面來(lái)看，可以講，完全是個(gè)真理，即便給定的，我們也改變它�？墒且粋�(gè)好的數(shù)學(xué)家在種種不同的真理里面，找到一個(gè)比較可愛(ài)的、有意思的真理。大部分的定理都是沒(méi)有意義的。只有好的數(shù)學(xué)家才可以找到真正有意義的定理。所以數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)有意義的定理，最后都可以在大自然里面找到印證。古往今來(lái)很多的數(shù)學(xué)家，剛開(kāi)始發(fā)現(xiàn)一些新的數(shù)學(xué)，以為這是一個(gè)新的發(fā)明，最后發(fā)現(xiàn)這個(gè)可以在大自然里面產(chǎn)生出來(lái)，所以可以講是一個(gè)發(fā)明，但是其實(shí)最后是一個(gè)發(fā)現(xiàn)。我覺(jué)得我們應(yīng)該用另外一個(gè)角度來(lái)看，我們只不過(guò)在大自然里面發(fā)現(xiàn)了人家看到的事情，還沒(méi)有看到的定理。
培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣很重要
讀者（上海市教委學(xué)前信息教委網(wǎng)）：您提到數(shù)學(xué)的美感。我想請(qǐng)教您，您認(rèn)為最小從什么時(shí)候可以對(duì)孩子進(jìn)行數(shù)學(xué)美感的啟蒙，您對(duì)您兩個(gè)兒子是怎么做的？
丘：我本人對(duì)數(shù)學(xué)的興趣是從平面幾何開(kāi)始的。我在中學(xué)的時(shí)候才開(kāi)始對(duì)數(shù)學(xué)有大興趣，因?yàn)槲倚r(shí)候念的書(shū)很枯燥，背公式常常會(huì)背錯(cuò)。
到了初中，第一次用線性方程來(lái)解答問(wèn)題的時(shí)候，我覺(jué)得很有意思�？梢圆槐扯茖�(dǎo)出來(lái)。這第一件事我覺(jué)得很有意思。
第二件事是念平面幾何，由公理推到很多有趣的定理，我覺(jué)得很有意義�，F(xiàn)在的學(xué)生不見(jiàn)得愿意去推理，怎么引發(fā)他們做這個(gè)事情，我想是很重要的事情。
哥德巴赫猜想很難盡快解決
沈文明（藥廠員工）：陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想上很有成就，如果不引進(jìn)新的數(shù)學(xué)方法的話，幾乎看不到這個(gè)問(wèn)題的曙光，請(qǐng)問(wèn)您展望這個(gè)問(wèn)題，多少時(shí)間可以解決，或者說(shuō)大概會(huì)引進(jìn)什么新的數(shù)學(xué)手段？
丘：做猜想并不難，可是要解決它要花很長(zhǎng)的時(shí)間，這都是很困難的問(wèn)題。所以數(shù)論里面有一套解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，解決到了一定的地步以后就很難有再向前走的可能性。數(shù)論這一百年來(lái)有不同的方法，有的用幾何的方法，有的用“解釋”的方法。后者就這五六年來(lái)開(kāi)始有比較大的進(jìn)展。這種進(jìn)展是不是足夠來(lái)解決哥德巴赫猜想問(wèn)題，我想并不見(jiàn)得可以解決得這么快。我不是這方面的專家，假如我真的有新的想法，我就可以把這個(gè)問(wèn)題解決了。
丘成桐簡(jiǎn)介
丘成桐,中國(guó)科學(xué)院外籍院士，華裔數(shù)學(xué)家、美國(guó)哈佛大學(xué)終身教授，1982年，34歲的他獲得了素有“數(shù)學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)”之稱的菲爾茲獎(jiǎng)。他成功地把微分幾何與偏微分方程的技巧與理論結(jié)合在一起，解決了許多著名的猜想，在偏微分方程、微分幾何、復(fù)幾何、代數(shù)幾何以及廣義相對(duì)論等方面，都有諸多貢獻(xiàn)。丘成桐是至今惟一一位榮獲菲爾茲獎(jiǎng)的華人數(shù)學(xué)家。
丘成桐教授十分關(guān)注中國(guó)數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展，并為此花費(fèi)了大量時(shí)間和心血。自1979年應(yīng)華羅庚教授邀請(qǐng)回國(guó)訪問(wèn)與講學(xué)以來(lái)，他通過(guò)培養(yǎng)人才、成立研究所和捐款等形式，支持和促進(jìn)我國(guó)的數(shù)學(xué)研究。
他還創(chuàng)辦了多個(gè)數(shù)學(xué)研究機(jī)構(gòu)。1994年，他在香港中文大學(xué)創(chuàng)建了數(shù)學(xué)所，并任所長(zhǎng)；1996年，在中科院的支持下，在北京建立了晨興數(shù)學(xué)中心并擔(dān)任學(xué)術(shù)委員會(huì)主任；2002年，支持在浙江大學(xué)成立了浙大數(shù)學(xué)科學(xué)研究中心，并出任中心主任。迄今為止，丘成桐共為三大研究機(jī)構(gòu)募集資金1.5億元人民幣，他個(gè)人累計(jì)捐款達(dá)300萬(wàn)美元。
來(lái)源：文匯報(bào) 2008-05-30
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