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失敗的啟迪
羅巴切夫斯基是在嘗試解決歐氏第五公設(shè)問(wèn)題的過(guò)程中，從失敗走上他的發(fā)現(xiàn)之路的。歐氏第五公設(shè)問(wèn)題是數(shù)學(xué)史上最古老的著名難題之一。它是由古希臘學(xué)者最先提出來(lái)的。公元前3世紀(jì)，希臘亞歷山大里亞學(xué)派的創(chuàng)始者歐幾里得集前人幾何研究之大成，編寫了數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有極其深遠(yuǎn)影響的數(shù)學(xué)巨著《幾何原本》。這部著作的重要意義在于，它是用公理法建立科學(xué)理論體系的最早典范。在這部著作中，歐幾里得為推演出幾何學(xué)的所有命題，一開(kāi)頭就給出了五個(gè)公理（適用于所有科學(xué)）和五個(gè)公設(shè)（只應(yīng)用于幾何學(xué)），作為邏輯推演的前提�！稁缀卧尽返淖⑨屨吆驮u(píng)述者們對(duì)五個(gè)公理和前四個(gè)公設(shè)都是很滿意，唯獨(dú)對(duì)第五個(gè)公設(shè)（即平行公理）提出了質(zhì)疑。
第五公設(shè)是論及平行線的，它說(shuō)的是：如果一直線和兩直線相交，所構(gòu)成的兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角之和小于兩直角，那么，把這兩直線延長(zhǎng)，它們一定在那兩內(nèi)角的側(cè)相交。數(shù)學(xué)家們并不懷疑這個(gè)命題的真實(shí)性，而是認(rèn)為它無(wú)論在語(yǔ)句還是在內(nèi)容上都不大像是個(gè)公設(shè)，而倒像是個(gè)可證的定理，只是由于歐幾里得沒(méi)能找到它的證明，才不得不把它放在公設(shè)之列。
為給出第五公設(shè)的證明，完成歐幾里得沒(méi)能完成的工作，自公元前3世紀(jì)起到19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們投入了無(wú)窮無(wú)盡的精力，他們幾乎嘗試了各種可能的方法，但都遭到了失敗。羅巴切夫斯基是從1815年著手研究平行線理論的。開(kāi)始，他也是循著前人的思路，試圖給出第五公設(shè)的證明。在保存下來(lái)的他的學(xué)生聽(tīng)課筆記中，就記有他在1816--1817學(xué)年度向何教學(xué)中給出的幾個(gè)證明�？墒�，很快他便意識(shí)到自己的證明是錯(cuò)誤的。前人和自己的失敗從反面啟迪了他，使他大膽思索問(wèn)題的相反提法：可能根本就不存在第五公設(shè)的證明。于是，他便調(diào)轉(zhuǎn)思路，著手尋求第五公設(shè)不可證的解答，這是一個(gè)全新的，也是與傳統(tǒng)思路完全相反的探索途徑。羅巴切夫斯基正是沿著這個(gè)途徑，在試證第五公設(shè)不可證的過(guò)程上發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的幾何世界的。
那么，羅巴切夫斯基是怎樣證得第五公設(shè)不可證的呢？又是怎樣從中發(fā)現(xiàn)新幾何世界的呢？原來(lái)他創(chuàng)造性地運(yùn)用了處理復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的一種邏輯方法--反證法。
這種反證法的基本思想是，為證“第五公設(shè)不可證”，首先對(duì)第五公設(shè)加以否定，然后用這個(gè)否定命題和其它公理公設(shè)組成新的公理系統(tǒng)，并由此展開(kāi)邏輯推演。假設(shè)第五公設(shè)是可證的，即第五公設(shè)可由其它公理公設(shè)推演出來(lái)，那么，在新公理系統(tǒng)的推演過(guò)程中一定能出現(xiàn)邏輯矛盾，至少第五公設(shè)和它的否定命題就是一對(duì)邏輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了“第五公設(shè)可證”這一假設(shè)，從而也就間接證得“第五公設(shè)不可證”。
依照這個(gè)邏輯思路，羅巴切夫斯基對(duì)第五公設(shè)的等價(jià)命題普列菲爾公理“過(guò)平面上直線外一點(diǎn)，只能引一條直線與已知直線不相交”作以否定，得到否定命題“過(guò)平面上直線外一點(diǎn)，至少可引兩條直線與已知直線不相交”，并用這個(gè)否定命題和其它公理公設(shè)組成新的公理系統(tǒng)展開(kāi)邏輯推演。在推演過(guò)程中，他得到一連串古怪的命題，但是，經(jīng)過(guò)仔細(xì)審查，卻沒(méi)有發(fā)現(xiàn)它們之間含有任何羅輯矛盾。于是，遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí)的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個(gè)“在結(jié)果中并不存在任何矛盾”的新公理系統(tǒng)可構(gòu)成一種新的幾何，它的羅輯完整性和嚴(yán)密性可以和歐幾里得幾何相媲美。而這個(gè)無(wú)矛盾的新幾何的存在，就是對(duì)第五公設(shè)可證性的反駁，也就是對(duì)第五公設(shè)不可證性的邏輯證明。由于尚未找到新幾何在現(xiàn)實(shí)界的原型和類比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個(gè)新幾何稱之為“想象幾何”。
在冷漠中宣告新幾何誕生
1826年2月23日，羅巴切夫斯基于喀山大學(xué)物理數(shù)學(xué)系學(xué)術(shù)會(huì)議上宣讀了他的第一篇關(guān)于非歐幾何的論文《幾何學(xué)原理及平行線定理嚴(yán)格證明的摘要》。這篇首創(chuàng)性論文的問(wèn)世，標(biāo)志著非歐幾何的誕生。然而，這一重大成果剛一公諸于世，就遭到正統(tǒng)數(shù)學(xué)家的冷漠和反對(duì)。
參加2月23日學(xué)術(shù)公議的全是數(shù)學(xué)造詣?shì)^深的專家，其中著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家西蒙諾夫，有后來(lái)成為科學(xué)院院士的古普費(fèi)爾以及后來(lái)在數(shù)學(xué)界頗有聲望的博拉斯曼。在這些人的心目中，羅巴切夫斯基是一位很有才華的青年數(shù)學(xué)家�？墒�，出乎他們的意料，這位年輕的教授在簡(jiǎn)短的開(kāi)場(chǎng)白之后，接著說(shuō)的全是一些令人莫明其妙的話，諸如三角形的內(nèi)角和小于兩直角，而且隨著邊長(zhǎng)增大而無(wú)限變小，直至趨于零；銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交，等等。這些命題不僅離奇古怪，與歐幾里得幾何相沖突，而且還與人們的日常經(jīng)驗(yàn)相背離。然而，報(bào)告者卻認(rèn)真地、充滿信心地指出，它們屬于一種邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男聨缀�，和歐幾里得向何有著同等的存在權(quán)利。這些古怪的語(yǔ)言，竟然出自一個(gè)頭腦清楚、治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)家教授之口，不能不使與會(huì)者們感到意外。他們先是表現(xiàn)現(xiàn)一種疑惑和驚呆，不多一會(huì)兒，便流露出各種否定的表情。
宣講論文后，羅巴切夫斯基誠(chéng)懇地請(qǐng)與會(huì)者討論，提出修改意見(jiàn)。可是，誰(shuí)也不肯作任何公開(kāi)評(píng)論，會(huì)場(chǎng)上一片冷漠。一個(gè)具有獨(dú)創(chuàng)性的重大發(fā)現(xiàn)作出了，那些最先聆聽(tīng)到發(fā)現(xiàn)者本人講述發(fā)現(xiàn)內(nèi)容的同行專家，卻因思想上的守舊，不僅沒(méi)能理解這一發(fā)現(xiàn)的重要意義，反而采取了冷談和輕慢的態(tài)度，這實(shí)在是一件令人遺憾的事情。
會(huì)后，系學(xué)術(shù)委員會(huì)委托西蒙諾夫、古普費(fèi)爾和博拉斯曼組成三人鑒定小組，對(duì)羅巴切夫斯基的論文作出書面鑒定。他們的態(tài)度無(wú)疑是否定的，但又遲遲不肯寫出書面意見(jiàn)，以致最后連文稿也給弄丟了。
權(quán)威的譏諷與匿名者的攻擊
羅巴切夫斯基的首創(chuàng)性論文沒(méi)能引起學(xué)術(shù)界的注意和重視，論文本身也似石沉大海，不知被遺棄何處。但他并沒(méi)有因此灰心喪氣，而是頑強(qiáng)地繼續(xù)獨(dú)自探索新幾何的奧秘。1829年，他又撰寫出一篇題為《幾何學(xué)原理》的論文。這篇論文重現(xiàn)了第一篇論文的基本思想，并且有所補(bǔ)充和發(fā)展。此時(shí)，羅巴切夫斯基已被推選為喀山大學(xué)校長(zhǎng)，可能出自對(duì)校長(zhǎng)的“尊敬”，《喀山大學(xué)通報(bào)》全文發(fā)表了這篇論文。
1832年，根據(jù)羅巴切夫斯基的請(qǐng)求，喀山大學(xué)學(xué)術(shù)委員會(huì)把這篇論文呈送彼得堡科學(xué)院審評(píng)�？茖W(xué)院委托著名數(shù)學(xué)家?jiàn)W斯特羅格拉茨基院士作評(píng)定。奧斯特羅格拉茨基是新推選的院士，曾在數(shù)學(xué)物理、數(shù)學(xué)分析、力學(xué)和天體力學(xué)等方面有過(guò)卓越的成就，在當(dāng)時(shí)學(xué)術(shù)界有很高的聲望�？上У氖牵褪沁@樣一位杰出的數(shù)學(xué)家，也沒(méi)能理解羅巴切夫斯基的新幾何思想，甚至比喀山大學(xué)的教授們更加保守。如果說(shuō)喀山大學(xué)的教授們對(duì)羅巴切夫斯基本人還是很“寬容”的話，那么，奧斯特羅格拉茨基則使用極其挖苦的語(yǔ)言，對(duì)羅巴切夫斯基作了公開(kāi)的指責(zé)和攻擊。同年11月7日，他在給科學(xué)院的鑒定書中一開(kāi)頭就以嘲弄的口吻寫道：“看來(lái)，作者旨在寫出一部使人不能理解的著作。他達(dá)到自己的目的�！苯又�，對(duì)羅巴切夫斯基的新幾何思想進(jìn)行了歪曲和貶低。最后粗暴地?cái)嘌裕骸坝纱宋业贸鼋Y(jié)論，羅巴切夫斯基校長(zhǎng)的這部著作謬誤連篇，因而不值得科學(xué)院的注意�！�
這篇論文不僅引起了學(xué)術(shù)界權(quán)威的惱怒，而且還激起了社會(huì)上反動(dòng)勢(shì)力的敵對(duì)叫囂。名叫布拉切克（C.A.БypaЧek）和捷列內(nèi)（C.И.ЗeЛeHbiЙ）的兩個(gè)人，以匿名C．C在《祖國(guó)之子》雜志上撰文，公開(kāi)指名對(duì)羅巴切夫斯基進(jìn)行人身攻擊。匿名者在題為《評(píng)羅巴切夫斯基的著作《幾何學(xué)原理》一文中，開(kāi)始就不懷好意地寫道：“甚至難以理解，羅巴切夫斯基先生是如何用數(shù)學(xué)中最簡(jiǎn)明的幾何學(xué)，建立起晦澀的、不可思議和神秘莫測(cè)的學(xué)說(shuō)的�！蔽闹谐芭溃骸盀槭裁床荒馨押诘南胂蟪砂椎�，把圓的想象成方的，把三角形內(nèi)角和想象成小于兩直角，把同一個(gè)定積分值想象成既等于π/4，又等于∞？非常、非�？赡�，盡管理智是不能理解這些的。”在文章的結(jié)尾處，作者更加放肆地譏諷道：“為什么不寫成，例如對(duì)幾何學(xué)的諷刺，幾何學(xué)漫畫等什么的，來(lái)代替標(biāo)題《幾何學(xué)原理》？”
針對(duì)這篇污辱性的匿名文章，羅巴切夫斯基撰寫了一篇反駁文章。但《祖國(guó)之子》雜志卻以維護(hù)雜志聲譽(yù)為由，將羅巴切夫斯基的文章扣壓下來(lái)，一直不予發(fā)表。對(duì)此，羅巴切夫斯基極為氣憤。
《祖國(guó)之子》雜志刊登攻擊科學(xué)家的匿名文章并非偶然，而是有一定的政治背景的。原來(lái)這家雜志的把持者布爾加林（Ф. В. БyjiГapИH）和格列奇（M.И.ГpeЧ）同沙皇秘密政治組織“第三廳”有著聯(lián)系，他們靠“第三廳”的資助維持雜志，并且充當(dāng)幫兇，專門監(jiān)視和打擊先進(jìn)的思想家和具有革命傾向的科學(xué)家。明顯表現(xiàn)有無(wú)神論和唯物主義傾向的喀山大學(xué)校長(zhǎng)羅巴切夫斯基，自然要被他們列為危險(xiǎn)對(duì)象加以監(jiān)視。借歪曲、詆毀科學(xué)新成果，來(lái)壓制、打擊具有進(jìn)步思想的科學(xué)家，是一切反動(dòng)勢(shì)力的慣用伎倆。
在孤境中奮斗終生
羅巴切夫斯基開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域，但他的創(chuàng)造性工作在生前始終沒(méi)能得到學(xué)術(shù)界的重視和承認(rèn)。就在他去世的前兩年，俄國(guó)著名數(shù)學(xué)家布尼雅可夫斯基（В.Я.БyhЯkobckИЙ，1804－1889）還在其所著的《平行線》一書中對(duì)羅巴切夫斯基發(fā)難，他試圖通過(guò)論述非歐幾何與經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)的不一致性，來(lái)否定非歐幾何的真實(shí)性。英國(guó)著名數(shù)學(xué)家莫爾甘（Morgan，1806－1871）對(duì)非歐幾何的抗拒心里表現(xiàn)得就更加明顯了，他甚至在沒(méi)有親自研讀非歐幾何著作的情況下就武斷地說(shuō)：“我認(rèn)為，任何時(shí)候也不會(huì)存在與歐幾里得幾何本質(zhì)上不同的另外一種幾何�！蹦獱柛实脑挻砹水�(dāng)時(shí)學(xué)術(shù)界對(duì)非歐幾何的普遍態(tài)度。
在創(chuàng)立和發(fā)展非歐幾何的艱難歷程上，羅巴切夫斯基始終沒(méi)能遇到他的公開(kāi)支持者，就連非歐幾何的另一位發(fā)現(xiàn)者德國(guó)的高斯也不肯公開(kāi)支持他的工作。高斯是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界首屈一指的學(xué)學(xué)巨匠，負(fù)有“歐洲數(shù)學(xué)之王”的盛名，早在1792年，也就是羅巴切夫斯基誕生的那一年，他就已經(jīng)產(chǎn)生了非歐幾何思想萌芽，到了1817年已達(dá)成熟程度。他把這種新幾何最初稱之為“反歐幾何”。后稱“星空幾何”，最后稱“非歐幾何”。但是，高斯由于害怕新幾何會(huì)激起學(xué)術(shù)界的不滿和社會(huì)的反對(duì)，會(huì)由此影響他的尊嚴(yán)和榮譽(yù)，生前一直沒(méi)敢把自己的這一重大發(fā)現(xiàn)公之于世，只是謹(jǐn)慎地把部分成果寫在日記和與朋友的往來(lái)書信中。當(dāng)高斯看到羅巴切夫斯基的德文非歐幾何著作《平行線理論的幾何研究》（1840年）后，內(nèi)心是矛盾的，他一方面私下在朋友面前高度稱贊羅巴切夫斯基是“俄國(guó)最卓越的數(shù)學(xué)家之一”，并下決心學(xué)習(xí)俄語(yǔ)，以便直接閱讀羅巴切夫斯基的全部非歐幾何著作；另一方面，卻又不準(zhǔn)朋友向外界泄露他對(duì)非歐幾何的有關(guān)告白，也從不以任何形式對(duì)羅巴切夫斯基的非歐幾何研究工作加以公開(kāi)評(píng)論。他積極推選羅巴切夫斯基為哥延根皇家科學(xué)院通訊院士，可是，在評(píng)選會(huì)上和他親筆寫給羅巴切夫斯基的推選通知書中，他對(duì)羅巴切夫斯基在數(shù)學(xué)上的最卓越貢獻(xiàn)－－創(chuàng)立非歐幾何卻避而不談。
高斯憑任在數(shù)學(xué)界的聲望和影響，完全有可能減少羅巴切夫斯基的壓力，促進(jìn)學(xué)術(shù)界對(duì)非歐幾何的公認(rèn)。然而，在頑固的保守勢(shì)力面前他卻喪失了斗爭(zhēng)的勇氣。高斯的沉默和軟弱表現(xiàn)，不便嚴(yán)重限制了他在非歐幾何研究上所能達(dá)到的高度，而且客觀上助長(zhǎng)了保守勢(shì)力對(duì)羅巴切夫斯基的攻擊。
晚年的羅巴切夫斯基心情更加沉重，他不僅在學(xué)術(shù)上受到壓制，而且在工作上還受到限制。按照當(dāng)時(shí)俄國(guó)大學(xué)委員會(huì)的條例，教授任職的最高斯限是30年，依照這個(gè)條例，1846年羅巴切夫斯基向人民教育部提出呈文，請(qǐng)求免去他在數(shù)學(xué)教研室的工作，并推薦讓位給他的學(xué)生A.Φ.波波夫。人民教育部早就對(duì)不順從他們意志辦事的羅巴切夫斯基抱有成見(jiàn)，但又找不到合適的機(jī)會(huì)免去他在喀山大學(xué)的校長(zhǎng)職務(wù)。羅巴切夫斯基辭去教授職務(wù)的申請(qǐng)正好被他們用以作為借口，不僅免去了他主持教研室的工作，而且還違背他本人的意愿，免去了他在喀山大學(xué)的所有職務(wù)。被迫離開(kāi)終生熱愛(ài)的大學(xué)工作，使羅巴切夫斯基在精神上遭到嚴(yán)重打擊。他對(duì)人民教育部的這項(xiàng)無(wú)理決定，表示了極大的憤慨。
家庭的不幸格外增加了他的苦惱。他最喜歡的、很有才華的大兒子因患肺結(jié)核醫(yī)治無(wú)效死去，這使他十分傷感。他的身體也變得越來(lái)越多病，眼睛逐漸失明，最后終于什么也看不見(jiàn)了。1856年2月12日，偉大的學(xué)者羅巴切夫斯基在苦悶和抑郁中走完了他生命的最后一段路程�？ι酱髮W(xué)師生為他舉行了隆重的追悼會(huì)。在追悼會(huì)上，他的許多同事和學(xué)生高度贊揚(yáng)他在建設(shè)喀山大學(xué)、提高民族教育水平和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人材等方面的卓越功績(jī)，可是誰(shuí)也不提他的非歐幾何研究工作，因?yàn)榇藭r(shí)，人們還普遍認(rèn)為非歐幾何純屬“無(wú)稽之談”。
羅巴切夫斯基為非歐幾何的生存和發(fā)展奮斗了三十多年，他從來(lái)沒(méi)有動(dòng)搖過(guò)對(duì)新幾何遠(yuǎn)大前途的堅(jiān)定信念。為了擴(kuò)大非歐幾何的影響，爭(zhēng)取早日取得學(xué)術(shù)界的承認(rèn)，除了用俄文外，他還用法文、德文發(fā)表了自己的著作，同時(shí)還精心設(shè)計(jì)了檢驗(yàn)大尺度空間幾何特性的天文觀測(cè)方案。不僅如此，他還發(fā)展了非歐幾何的解析和微分部分，使之成為一個(gè)完整的、有系統(tǒng)的理論體系。在身患重病，臥床不起的困境下，他也沒(méi)停止對(duì)非歐幾何的研究。他的最后一部巨著《論幾何學(xué)》，就是在他雙目失明，臨去世的前一年，口授他的學(xué)生完成的。
歷史是最公允的，因?yàn)樗K將會(huì)對(duì)各種思想、觀點(diǎn)和見(jiàn)解作出正確的評(píng)價(jià)。1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米（Beltrami，1835－1899）發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。這就是說(shuō)，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒(méi)有矛盾，非歐幾何也就自然沒(méi)有矛盾。人們既然承認(rèn)歐幾里是沒(méi)有矛盾的，所以也就自然承認(rèn)非歐幾何沒(méi)有矛盾了。直到這時(shí)，長(zhǎng)期無(wú)人問(wèn)津的非歐幾何才開(kāi)始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也就由此得到學(xué)術(shù)界的高度評(píng)價(jià)和一致贊美，他本人則被人們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。
在科學(xué)探索的征途上，一個(gè)人經(jīng)得住一時(shí)的挫折和打擊并不難，難的是勇于長(zhǎng)期甚至終生在逆境中奮斗。羅巴切夫斯基就是在逆境中奮斗終生的勇士。同樣，一名科學(xué)工作者，特別是聲望較高的學(xué)術(shù)專家，正確識(shí)別出那些已經(jīng)成熟的或具有明顯現(xiàn)實(shí)意義的科這成果并不難，難的是及時(shí)識(shí)別出那些尚未成熟或現(xiàn)實(shí)意義尚未顯露出來(lái)的科學(xué)成果。我們每一位科學(xué)工作者，既應(yīng)當(dāng)作一名勇于在逆境中頑強(qiáng)點(diǎn)頭的科學(xué)探索者，又應(yīng)當(dāng)成為一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域中新生事物的堅(jiān)定支持者。
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