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僅這種意義上說，他討論的東西多少有點過時�？墒牵茖W與時裝不同，它并不趕時髦。科學與技術不同，它不能只把最新的拿來就行�？茖W，尤其是數學，它的過去對我們今天仍有重大意義。M·克萊因就是在一種充滿新解的不確定性的世界中探討這種老掉牙的確定性的喪失。當代玩電腦、上網絡的青年，讀這本書有點像中學生聽爺爺奶奶講反右、三年困難乃至文革等等。然而，只有他們理解歷史，也許才能成長，才能成熟，才能理解現(xiàn)在和未來。
M·克萊因已經在1992年去世。他生于1908年，是位應用數學家，長期在紐約的應用數學中心——著名的庫朗研究所工作。他研究的是電磁場的數學物理學，這在物理學和數學中都是經典的，也是最確定的科學�？墒侵浪麘脭祵W的工作的人并不多，他的大名實際上是靠他的數學史及數學概述的著作。國內有些人知道他可能完全靠他那1200頁的巨著《古今數學思想》的中譯本。這本書概述了從古到1930年左右的數學史，可能在它1972年出版之后50年到100年難找到更好的競爭者。對于一位應用數學家，這種歷史的淵博實在令人吃驚。他還寫過《西方文化中的數學》(1953)，《數學與物理世界》(1959)，《數學與知識的探求》(1983)等著作。這些書在西方都擁有龐大的讀者群。
他寫《數學：確定性的喪失》時，已經是70高齡了，我們當然不能指望他對當時的時髦課題有所涉及，更不必提對今后的展望了。我們指望他把這個經典課題寫好，在這個題材范圍之內，他的確講述得十分精采。
《數學：確定性的喪失》一書除引言外，共有15章，可以分為三個部分：前3章是第一部分，講數學真理的起源、數學真理的繁榮和科學的數學化；中間9章是論述數學確定性喪失的各個方面，首先從第一場災難，真理的喪失講起，其實是非歐幾何沖擊歐氏幾何的絕對權威，其次4章是講邏輯學科不合邏輯的發(fā)展：無理數的發(fā)現(xiàn)及數的擴張(負數、虛數)，很難找到邏輯基礎。接著是微積分帶來的分析的困境，由此導致19世紀對分析嚴密性的懷疑和批判，最后達到19世紀末分析的嚴格化，好像走進了天堂之門。第9到12章講進入天堂后數學面臨更大的危機。由于集合論悖論和其它邏輯悖論的出現(xiàn)，數學面臨第三次危機，對數學基礎進行一場大辯論，邏輯主義、直覺主義、形式主義各派提出了各自的觀點來解決基礎危機。然而，1930年哥德爾不完全性定理的發(fā)表把危機推向高潮，作者以“災難”一詞，結束了他關于確定性喪失的論述。他把自己的論述，停留在1930年的時點，然后，就完全以悲觀的論調進入第三部分，第13、第14、第15章。他的觀點可由這三章的標題看出來，“數學的孤立”，“數學向何處去”，“自然的權威”。在這里我們又看到他作為應用數學家的身影。他的觀點很明確——走回頭路，讓數學回到經驗，回到自然，重視應用，去掉那種孤芳自賞的抽象、推廣、存在性的證明以及嚴格性的探討，至少要把它們壓縮到最低限度。
作為歷史家和作家，他的論述深入淺出，十分生動，筆者認為非常值得推薦給希望提高自己的數學素養(yǎng)的讀者閱讀。但是，他的哲學論點和數學觀卻未免過時。誠然，1930年以后仍然不斷地有關數學哲學和數學基礎的論述，甚至到90年代中期還有關于“理論數學”的一場大論戰(zhàn)，可是有多少人關心它，它又對數學及科學的發(fā)展有多大影響呢?
到底我們如何看待克萊因所說的數學的不確定性呢?筆者以為，1930年以后的發(fā)展的確會給我們一些啟示。事情決不像克萊因想像的那么悲觀。實際上，原來我們可以控制的那部分數學仍然是確定的。正如人們常說2×2永遠等于4，這是顛撲不破的真理。可是，數學發(fā)展有賴于把已知的事實推向未知，把特殊的結果推向一般。數學中的這種推廣，特別是把有窮推廣到無窮，總是帶來確定性的喪失。這是貫穿整個數學史的一條紅線。在這種情況下，必定產生我們的方法是否合理、是否嚴格的問題。對此，歷史上常常有兩種極端的態(tài)度：一種是保守的態(tài)度，也就是固定不變的原教旨主義，一種是激進的態(tài)度，也就是向前看，不斷推廣，不斷革新。前者雖然保險，但無助于發(fā)展數學，后者總是冒風險，免不了帶來一個又一個矛盾，這就是確定性的喪失。從歷史上看，后者總是取得勝利，它不僅使我們開創(chuàng)出前所未有的大量數學，而且通過矛盾的發(fā)現(xiàn)和化解，使我們更深刻地認識我們能力或我們方法的限度，并且對開辟的新領域進行方法上的開發(fā)。歐氏幾何向非歐幾何擴展的歷史正好說明這點。非歐幾何的出現(xiàn)不僅結束了歐氏幾何是唯我獨尊的絕對幾何的局面，而且列舉了“所有可能的”幾何，這樣使得數學由一門自然科學或物理科學真正轉變?yōu)槟Ｊ交蛐问娇茖W。不僅如此，它還使我們空間觀念大為變革，并為相對論的發(fā)展提供有效的方法和工具。
哥德爾不完全性定理打破希爾伯特綱領的美夢。他明顯地區(qū)別開真理性和可證明性。他造出一個數論真命題在一個包含初等算術的公理系統(tǒng)中不能證明�？墒撬拿}并不是一個自然的數論或數學命題。到70年代和80年代，的確有人證明一些自然的數論問題和組合問題在初等算術系統(tǒng)中是不能證明的。
1930年以后，雖然數學基礎的討論仍在進行，可是大多數數學家對此并不關心。正如狄奧多涅所說：“沒有什么人對數學基礎問題感興趣，除非他專搞那一行�！本瓦B數理邏輯也成為數學的一門獨立的分支，發(fā)展成證明論、模型論、公理集合論和遞歸論四大塊，成為十分專門的領域；它們的發(fā)展直接推動數學尤其是計算機科學的發(fā)展。特別是可計算性理論和圖靈機更是當代計算機時代的理論基石，而且由于數理邏輯的發(fā)展，使用數理邏輯方法解決了不少數學問題，由“不確定性”得出確定性的結果。另一方面，由于數理邏輯的方法，我們也知道了“確定性”的界限。例如希爾伯特在1900年提出的著名的23個問題，其中第10問題就是是否有一個判定方法判定丟番圖方程是否有解。1970年已經證明這個問題的答案是否定的。這當然也是一個“不確定性”的結果。可是進一步研究指出，一次、二次丟番圖方程是否有解是可以判定的，但四次和四次以上丟番圖方程則不可決定。因此當前一個未解決大問題是3次丟番圖方程的判定問題。
哥德爾不完全性定理也對作為數學基礎的集合論提出挑戰(zhàn)。在通用的公理集合論ZF中，希爾伯特第1問題也就是連續(xù)統(tǒng)假設CH是否成立，結果是CH在ZF中既不能證明也不能反證，這樣就出現(xiàn)“不確定性”。對于希望進一步有“確定性”的數學家，如哥德爾，就提出哥德爾綱領，他希望加進一些“大基數公理”，使得原來不確定的問題有一個確定的解答。對于形式主義數學家，如柯恩，就提出非歐幾何式的方案，把CH作為公理，加進ZF的集合論稱為康托爾集合論，而把CH的否定作為公理加進ZF的集合論，就稱為非康托爾集合論。非康托爾集合論又可以分許多種，這樣使數學大大豐富起來。不管怎么樣，“不確定性”都不是一件壞事。
M·克萊因在把確定性喪失看成災難之后，又在最后三章深挖原因，認為這是由于數學的孤立，特別是同經驗和自然的脫離。遺憾的是，無論從邏輯上講，還是從歷史上講，情況都不是這樣。18世紀之前，特別是科學革命時期，數學與科學的發(fā)展的確互相促進，相得益彰。到了19世紀之后，由于數學領域的擴展，數學與自然科學，純粹數學與應用數學有著某種程度的分離，而且專業(yè)化也日益明顯，數學也逐步發(fā)展成其有自己獨特的對象，獨特的理論與獨特方法的學科。誰也不否認，歸根結底，數學的對象來源于現(xiàn)實世界。但是，從這時起，由最原始的對象經過抽象、推廣(一般化)、公理方法等產生出豐富多彩的數學對象和理論分支，如集合論、群論、抽象代數、拓撲學、泛函分析等等，它們都走上獨自發(fā)展的道路，看來與自然科學和社會實際脫離越來越遠，而且從外行人看，真不知搞的什么名堂。
然而，從70年代起，正是這些現(xiàn)代的數學在物理學與其它科學上又大有用武之地。從70年代楊(振寧)—未爾斯場與微分幾何和拓撲建立了聯(lián)系之后，孤立子解與代數幾何也建立密切關系。整個純粹數學和理論物理形成一個大統(tǒng)一的局面，數學物理之間的密切關系遠遠超過經典的數學和物理學。例如量子場論與算子代數與扭結理論相互推動，繼而又產生量子群等熱門理論。到90年代，超弦理論與拓撲學、代數幾何等前沿數學相結合，成為四種力的統(tǒng)一理論的最佳候補者。按照弦論，我們的時空不只四維，而是十維，除了可感到的四維之外，還有六維是所謂代數三維簇，現(xiàn)在稱為卡拉比—丘(成桐)流形，這種流形現(xiàn)在是當前一大熱門。它有成千上萬種，分類問題極為困難，但這也顯示我們的宇宙有可能多么豐富多彩。然而，沒有數學理論，永遠無法探索到自然界的如此奧妙。其實，從20世紀初期，數學已經不是科學的婢女了，它由數學自身的問題出發(fā)，早已經為物理學的革命理論——廣義相對論，量子物理學，分子原子結構，核物理，基本粒子物理，準備好現(xiàn)成的數學工具，它們分別是黎曼幾何學、泛函分析和群論。時至今日，幾乎整個的抽象數學，特別是拓撲學、代數幾何學、代數數論，動力系統(tǒng)理論等等，都在應用上發(fā)揮著不可或缺的作用，數學正在成為科學發(fā)展的帶頭羊。而這都是在數學的確定性不斷喪失、數學學科日益孤立的發(fā)展情況下產生的。M·克萊因的悲觀是毫無根據的。
反觀數學基礎，困難仍然存在，危機并未消除。不過，本書所講的這種有3000年歷史的最古老的不確定性并沒有擋住我們前進的步伐，我們又何必為有朝一日數學大廈可能倒塌而杞人憂天呢。數學中確定性喪失的歷史只告訴我們，數學確定性并非是完全是絕對的確定性，而在多數情形下是一種相對的確定性。但這同物理學的相對確定性還不一樣，物理世界或現(xiàn)實世界出了問題，例如地球遭到小行星碰撞，在想到其它辦法之前，也許只有等死。而數學卻是關于可能世界的科學，某些地方出了問題，數學家總會想出辦法來解決它。歷史可為我作證，對此，M·克萊因的書非常值得一讀。
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